Exercice : Exemple 12

Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à \(\frac{1}{10}\);

s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à \(\frac{9}{10}\)

Soit P : l'évènement "il pleut"

S : l'évènement "je sors mon chien"

Question

1.Représenter cette situation par un arbre.

Solution

Question

2.Quelle est la probabilité de l'événement "je sors mon chien" p(S) ?

Solution

Déterminons la probabilité qu'il pleuve sachant que j'ai sorti mon chien :

P : "il pleut"

S :"j'ai sorti mon chien"

\(p_S(P)=\frac{p(S \cap P)}{p(S)}\)

\(p(S \cap P)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{40}\)

\(p(S )=\frac{1}{4}\times \frac{1}{10} + \frac{3}{4}\times \frac{9}{10}=\frac{1}{40}+\frac{27}{40}=\frac{28}{40}=\frac{7}{10}\)

Question

3. Sachant que j'ai sorti mon chien, quel est la probabilité qu'il pleuve ?

Solution

\(p_S(P)=\frac{p(S \cap P)}{p(P)}=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{7}{10}}= \frac{1}{40} \times \frac{10}{7} =\frac{1}{28}\simeq 0,036\)

Une chance sur 28 ou 3,6% de chance qu'il pleuve sachant que j'ai sorti mon chien.