Introduction
\(\color{magenta}{\textbf{Contenu de la leçon :}}\)
Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus.
Savoir calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes :
o A l'aide d'une projection orthogonale ;
o analytiquement ;
o à l'aide des normes et d'un angle ;
o à l'aide des normes.
Savoir choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème.
Il est intéressant de démontrer l'égalité des expressions attachées à chacune de ces méthodes.
Caractérisation de l'orthogonalité.
Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d'orthogonalité.
Développement de \(||\vec{u}+\vec{v}||^2\)
Formule d'Al-Kashi.
Transformation de l'expression \(\vec{MA}.\vec{MB}\)
\(\color{magenta}{\textbf{Capacités attendues :}}\)
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle,
une longueur dans le plan ou dans l'espace.
En vue de la résolution d'un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs
en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l'aide
des coordonnées, à l'aide des normes et d'un angle, à l'aide de normes).
Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.
\(\color{magenta}{\textbf{Démonstrations :}}\)
Formule d'Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).
Ensemble des points M tels que \(\vec{MA}.\vec{MB}=0\) (démonstration avec le produit scalaire).
Approfondissements possibles
Loi des sinus.
Droite d'Euler d'un triangle.
Les médianes d'un triangle concourent au centre de gravité.
Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
\(\color{magenta}{\textbf{Géométrie repérée :}}\)
Dans cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Contenus
Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées (a,b) est normal à la droite d'équation \(ax + by + c =0\). Le vecteur (-b,a) en est un vecteur directeur.
o Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.
o Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
Équation de cercle.
\(\color{magenta}{\textbf{Capacités attendues :}}\)
Déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur
normal.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Déterminer et utiliser l'équation d'un cercle donné par son centre et son rayon.
Reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon.
Approfondissements possibles
Applications du produit scalaire :
o aux calculs d'angles et de longueurs ;
o pour la démonstration des formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus.
Démontrer que \(cos(a-b)=cos a cosb +sinasinb\)
L'objectif est de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances et d'angles, la démonstration d'alignement, de parallélisme ou d'orthogonalité.
Expression de deux vecteurs du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires
Capacités attendues : choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution
de problèmes.