Exercice : Vente de Canapés
Un commercial vend entre zéro et cinq canapés par semaine.
Soit \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque semaine,
associe le nombre de canapés vendus.
La loi de probabilités de \(X\) est :
\(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X = x_i)\) | \(a\) | 0,18 | 0,27 | 0,32 | 0,10 | 0,05 |
Question
1. Déterminer la valeur de \(a\)
Solution
Un commercial vend entre zéro et cinq canapés par semaine
donc :
\(\sum\limits_{i=1}^5 p(X = x_i)=p(X = 0)+p(X = 1)+p(X = 2)+p(X = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)=1\)
\(\iff a+0,18+0,27+0,32+0,10+0,05=1\)
\(\iff a+0,92=1\)
\(\iff a=1-0,92\)
\(\iff a=0,08\)
donc il y a 8% de chance qu'il vende aucun canapé, une semaine donnée.
Question
2. Calculer la probabilité que ce commercial vende au moins deux canapés en une semaine ;
Solution
\(\color{magenta}{\text{1ère méthode:}}\)
\(p(X \ge 2)=p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)\)
\(\iff p(X \ge 2)=0,27+0,32+0,10+0,05=0,74\)
\(\color{magenta}{\text{2ème méthode:}}\)
\(p(X \ge 2)=p(\overline{X<2})=1-(p( X\le 1))=1-(p(X=0)+p(X=1))\)
\(\iff p(X \ge 2)=1-(0,08+0,18)\)
\(\iff p(X \ge 2)=1-0,26\)
\(\iff p(X \ge 2)=0,74\)
74% de chance que le commercial vende au moins deux canapés en une semaine
Question
3. Calculer la probabilité que ce commercial vende moins de 5 canapés en une semaine
Solution
\(\color{magenta}{\text{1ère méthode:}}\)
\(p(X <5)=p(X \le 4)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)\)
\(\iff p(X <5)=0,08+0,18+0,27+0,32+0,10=0,95\)
\(\color{magenta}{\text{2ème méthode:}}\)
\(p(X < 5)=p(\overline{X \ge 5})=1-(p( X\ge 5))=1-p(X=5)\)
\(\iff p(X <5)=1-0,05\)
\(\iff p(X <5)=0,95\)
95% de chance que le commercial vende moins de 5 canapés en une semaine
Question
4. Calculer \(p(2 \le X \le 4)\) et interpréter le résultat par une phrase.
Solution
\(\color{magenta}{\text{1ère méthode:}}\)
\(p(2 \le X \le 4)=p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)=0,27+0,32+0,10=0,69\)
\(\color{magenta}{\text{2ème méthode:}}\)
\(p(2 \le X \le 4)=p(X \le 4)-p(X<2)\)
\(\iff p(2 \le X \le 4)=p(X <5)-(p(X=0)+p(X=1))\)
\(\iff p(2 \le X \le 4)=0,95-(0,08+0,18)\)
\(\iff p(2 \le X \le 4)=0,95-0,26\)
\(\iff p(2 \le X \le 4)=0,69\)
donc 69% de chance que le commercial vende entre 2 et 4 canapés en une semaine