Exercice : Willy Wonka
Les Oompa Loompas produisent des tablettes de chocolat théoriquement de 500 g , mais la machine de Willy Wonka a des ratés !
Les masses réelles varient autour de 500 g par bonds de 0,1 g, selon la loi de probabilité suivante :
Loi de probabilité de la variable aléatoire masses des tablettes :
Masse \(m_i\) | 499,7 | 499,8 | 499,9 | 500,0 | 500,1 | 500,2 | 500,3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(M=m_i)\) | 0,10 | 0,05 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,15 | 0,10 |
Question
Construire la loi de probabilité de la variable aléatoire \(N=10M-5000\)
Solution
\(n_i\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(N=n_i)\) | 0,10 | 0,05 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,15 | 0,10 |
Question
2. Calculer l'espérance \(E(N)\) en déduire l'espérance \(E(M)\) de la masse d’une tablette.
Solution
\(E(N)=-3 \times 0,10 +(-2) \times 0,05 +(-1) \times 0,15+0 \times 0,20+1 \times 0,25 + 2 \times 0,15 +3 \times 0,10\)
\(\iff E(N)=-0,3 -0,1-0,15+ 0,25 +0,3 +0,3\)
\(\iff E(N)=-0,55 + 0,85\)
\(\iff E(N)=0,3\)
donc \(E(10M-5000)=0,3\)
or \(E(aX+b)=aE(X)+b\)
donc \(10E(M)-5000=0,3\)
\(\iff 10E(M)=5000+0,3\)
\(\iff 10E(M)=5000,3\)
\(\iff E(M)=500,03\)
L'espérance \(E(M)\) de la masse d’une tablette est donc de 500,03 grammes
Question
3. Calculer la variance \(V(N)\) en déduire la variance V(M) de la masse d’une tablette.
Solution
\(V(N)=E(N^2)-(E(N))^2\)
\(n_i^2\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(N^2=n_i^2)\) | 0,10 | 0,05 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,15 | 0,10 |
\(E(N^2)=9 \times 0,10 +4 \times 0,05 +1 \times 0,15+0 \times 0,20+1 \times 0,25 + 4 \times 0,15 +9 \times 0,10\)
\(\iff E(N^2)=0,90 + 0,20 +0,15+ 0,25 + 0,60 + 0,90\)
\(\iff E(N^2)=1,25+ 1,75\)
\(\iff E(N^2)=3\)
\(V(N)=E(N^2)-(E(N))^2=3-(0,3)^2\)
\(\iff V(N)=E(N^2)-(E(N))^2=3-0,09\)
\(\iff V(N)=E(N^2)-(E(N))^2=2,91\)
donc \(V(10M-5000)=2,91\)
or \(V(aX+b)=a^2V(X)\)
donc \(10^2V(M)=2,91\)
\(\iff V(M)=\frac{2,91}{10^2}\)
\(\iff V(M)=2,91 \times 10^{-2}\)
\(\sigma(M)=\sqrt{2,91 \times 10^{-2}}\)
\(\Rightarrow \sigma(M)\simeq 0,17\)
La production est très précise (écart type de seulement 0,17 g sur 500 grammes).
68% des tablettes pèsent entre
\([E(M)-\sigma(M) ;E(M)-\sigma(M) ]\)=[\(500,03-0,17;500,03+0,17\)\([E(M)-\sigma(M) ;E(M)-\sigma(M) ]=[499,86g;500,20g]\).
La variance faible confirme que la machine est bien calibrée, malgré les petits ratés.