Exercice : Boules dans urne
Partie I
Un joueur participe à un jeu de hasard selon les règles suivantes :
Mise initiale : Le joueur doit miser 5 € pour pouvoir tirer une boule d'une urne.
Composition de l'urne : L'urne contient 10 boules au total :
3 boules rouges,
5 boules vertes,
les autres boules sont bleues
Si le joueur tire une boule rouge, il perd sa mise
Si le joueur tire une boule bleue, sa mise lui est rendue
Si le joueur tire une boule verte, il reçoit 8 €
On définit la variable aléatoire \(G\) qui, à chaque partie, associe le «gain» algébrique du joueur (ce « gain » est négatif si le joueur perd de l'argent)
Question
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(G\)
Solution
\(g_i\) | 0-5=-5 | 0 | 8-5=3 |
|---|---|---|---|
\(p(G=g_i)\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) | \(\frac{5}{10}\) |
Question
2. Calculer l'espérance mathématique \(E(G)\) et interpréter son résultat.
Solution
\(E(G)=(−5)×\frac{3}{10}+0×\frac{2}{10}+3×\frac{5}{10}\)
\(\iff E(G)=\frac{-15}{10}+\frac{15}{10}=0 €\)
Le jeu est donc équitable sur le long terme (espérance nulle)
Question
3. Analyser le risque pour le joueur par le calcul de la variance et de l'écart-type.
Solution
\(Var(G)=(−5−0)^2×\frac{3}{10}+(0−0)^2×\frac{2}{10}+(3−0)^2×\frac{5}{10}\)
\(\iff Var(G)=25×\frac{3}{10}+9×\frac{5}{10}\)
\(\iff Var(G)=\frac{75}{10}+\frac{45}{10}\)
\(\iff Var(G)=\frac{120}{10}=12\)
\(\Rightarrow σ(G))=\sqrt{V(G)} \simeq 3,464 €\)
\(Var(G)=E(G^2)-(E(G))^2\)
\(E(G^2)=(−5)^2×\frac{3}{10}+0^2×\frac{2}{10}+3^2×\frac{5}{10}\)
\(\iff E(G^2)=25×\frac{3}{10}+9×\frac{5}{10}\)
\(\iff E(G^2)=\frac{75}{10}+\frac{45}{10}\)
\(\iff E(G^2)=\frac{120}{10}\)
\(\iff E(G^2)=12\)
\(Var(G)=E(G^2)-(E(G))^2\)
\(\iff Var(G)=12-0^2\)
\(\iff Var(G)=12\)
\(\Rightarrow σ(G) )=\sqrt{V(G)}\simeq 3,464 €\)
On a donc au moins 68% de chances que le joueur « gagne » entre
\([E(G)- σ(G) ;E(G)- σ(G) ]\simeq [0-3,464 ;0+3,464]\)
\(\iff [E(G)- σ(G) ;E(G)- σ(G) ]\simeq [-3,464 ;3,464]\)
Partie II
La répartition des boules est modifiée mais la règle reste la même (rouge : mise perdue ; bleu : mise rendue ; vert : gagne 8 €) et le nombre de boules total dans l'urne est toujours 10.
La nouvelle variable aléatoire \(X\) correspondant au gain du joueur a alors la loi de probabilité suivante :
\(x_i\) | -5 | 0 | 3 |
|---|---|---|---|
\(p(X = xi)\) | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
Question
a. Trouver la nouvelle répartition des boules dans l'urne.
Solution
Boule rouge, il perd sa mise\(\mapsto\) -5 : \(0,4=\frac{4}{10}\)
soit 4 boules rouges sur 10
Boule bleue, sa mise lui est rendue\(\mapsto\) 0 : \(0,2=\frac{2}{10}\) soit 2 boules bleues sur 10
Boule verte, il reçoit 8 € \(\mapsto\) 3 : \(0,4=\frac{4}{10}\) soit 4 boules vertes sur 10
Question
2. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et interpréter son résultat.
Solution
\(E(X)=(−5)×\frac{4}{10}+0×\frac{2}{10}+3×\frac{4}{10}\)
\(\iff E(X)=\frac{-20}{10}+\frac{12}{10}=\frac{-8}{10}=-0,8\)
Le jeu est donc en faveur de l'organiseur du jeu :
le joueur peut « espérer » perdre 0,8€ soit 80 centimes par partie en moyenne sur un grand nombre de parties.
Question
3. Analyser le risque pour le joueur par le calcul de la variance et de l'écart-type.
Solution
\(Var(X)=(−5−(-0,8))^2×\frac{4}{10}+(0−(-0,8))^2×\frac{2}{10}+(3−(-0,8))^2×\frac{5}{10}\)
\(Var(X)=(−4,2)^2×\frac{4}{10}+(0,8)^2×\frac{2}{10}+(3,8)^2×\frac{4}{10}\)
\(\iff Var(X)=17,64×\frac{4}{10}+0,64×\frac{2}{10}+14,44×\frac{4}{10}\)
\(\iff Var(X)=\frac{70,56}{10}+\frac{1,28}{10}+\frac{57,76}{10}\)
\(\iff Var(X)=\frac{129,6}{10}\)
\(\iff Var(X)=12,96\)
\(\Rightarrow σ(X)=\sqrt{V(X)} \simeq 3,6 €\)
\(Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2\)
\(E(X^2)=(−5)^2×\frac{4}{10}+0^2×\frac{2}{10}+3^2×\frac{4}{10}\)
\(\iff E(X^2)=25×\frac{4}{10}+9×\frac{4}{10}\)
\(\iff E(X^2)=\frac{100}{10}+\frac{36}{10}\)
\(\iff E(X^2)=\frac{136}{10}\)
\(\iff E(X^2)=13,6\)
\(Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2\)
\(\iff Var(X)=13,6-(-0,8)^2\)
\(\iff Var(X)=13,6-0,64\)
\(\iff Var(X)=12,96\)
\(\Rightarrow σ(X) )=\sqrt{V(X)}\simeq 3,6 €\)
On a donc 68% de chances au moins que le joueur « gagne » entre
\([E(X)- σ(X) ;E(X)- σ(X) ]\simeq [-0,8-3,6 ;-0,8+3,6]\)
\(\iff [E(X)- σ(X) ;E(X)- σ(X) ]\simeq [-4,4 ;2,8]\)
La largeur de l'intervalle (7.2 €) confirme la grande variabilité des résultats. Bien que des gains positifs soient possibles, la moyenne négative indique un désavantage structurel pour le joueur.