Chapitre X Produit scalaire

\(\color{magenta}{\text{1ère méthode : Par dérivation}}\)

\(f (x) = \frac{x^2}{3}+2x\) 

\(f'(x) = \frac{2x}{3}+2\) 

\(f'(x) = \frac{2x}{3}+2=0\)

\(\iff  \frac{2x}{3}+2=0\)

\(\iff  \frac{2x}{3}=-2\)

\(\iff  2x=-2 \times 3\)

\(\iff  2x=-6\)

\(\iff  x=-3\)

\(f (-3) = \frac{(-3)^2}{3}+2\times (-3)\)

\(\iff f (-3) = \frac{9}{3}-6\)

\(\iff f (-3) = 3-6=-3\)

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(f\) a pour sommet le point de coordonnées (-3 ;-3)

\(g(x) = -x^2 - 4x - 3\)

\(g'(x) = -2x - 4\)

\(g'(x) = -2x - 4=0\)

\(\iff -2x - 4=0\)

\(\iff -2x =4\)

\(\iff x =\frac{4}{-2}=-2\)

\(g(-2) = -(-2)^2 - 4 \times (-2)- 3\)

\(\iff g(-2) = -4 +8- 3=1\)

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(g\) a pour sommet le point de coordonnées (-2 ;1)

\(\color{magenta}{\text{2ème méthode : Par calcul des coordonnées du sommet des paraboles}}\)

\(f (x) = \frac{x^2}{3}+2x\) 

\(\alpha=\frac{-b}{2a}\)

\(\alpha=\frac{-2}{2\frac{1}{3}}\)

\(\iff \alpha=\frac{-2}{\frac{2}{3}}\)

\(\iff \alpha=-2 \times \frac{3}{2}=-3\)

\(\beta=f(\alpha)\)

\(\iff \beta=f (-3) = \frac{(-3)^2}{3}+2\times (-3)\)

\(\iff \beta= \frac{9}{3}-6\)

\(\iff \beta = 3-6=-3\)

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(f\) a pour sommet le point de coordonnées (-3 ;-3)

  Comme le coefficient du terme en "\(x^2\)" est \(\frac{1}{3}>0\),

  on en déduit que la parabole correspondante est celle d'une fonction décroissante puis croissante.

\(g(x) = -x^2 - 4x - 3\)

\(\alpha=\frac{-b}{2a}\)

\(\alpha=\frac{-(-4)}{2\times (-1)}\)

\(\iff \alpha=\frac{4}{-2}\)

\(\iff \alpha=-2\)

\(\beta=g(\alpha)\)

\(\iff \beta=g(-2) = -(-2)^2 - 4 \times (-2)- 3\)

\(\iff \beta=-4 +8- 3=1\)

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(g\) a pour sommet le point de coordonnées (-2 ;1)

  Comme le coefficient du terme en "\(x^2\)" est \(-1<0\),

  on en déduit que la parabole correspondante est celle d'une fonction croissante puis décroissante.

D'après la question précédente,

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(f\) a pour sommet le point de coordonnées (-3 ;-3)

  ce qui est le cas pour la parabole représentée en rouge.

  De plus la fonction représentée par la parabole rouge est croissante puis décroissante donc son coefficient du terme en "\(x^2\)" est positif

  ce qui est le cas pour la fonction \(f\) et non pour la fonction \(g\).

• le sommet de la parabole correspondant à la fonction \(g\) a pour sommet le point de coordonnées (-2 ;1) ce qui est le cas pour la parabole représentée en violet.

  De plus la fonction représentée par la parabole violette est décroissante puis croissante donc son coefficient du terme en "\(x^2\)" est négatif

  ce qui est le cas pour la fonction \(g\) et non pour la fonction \(f\).

\(f(x)=g(x)\)

\(\iff \frac{x^2}{3}+2x=-x^2-4x-3\)

\(\iff \frac{x^2}{3}+2x+x^2+4x+3=0\)

\(\iff \frac{x^2}{3}+x^2+6x+3=0\)

\(\iff \frac{x^2}{3}+\frac{3x^2}{3}+6x+3=0\)

\(\iff \frac{x^2}{3}+\frac{3x^2}{3}+6x+3=0\)

\(\iff \frac{4x^2}{3}+6x+3=0\) (\(E_1\))

\(\iff 4x^2+18x+9=0\) (\(E_1 \times 3)\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\iff \Delta=18^2-4 \times 4 \times 9\)

\(\iff \Delta=324-144\)

\(\iff \Delta=180\)

Comme \(\Delta>0\), l'équation \(f(x) =g(x)\) admet deux solutions

\(\begin{cases}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x_1=\frac{-18-\sqrt{180}}{2 \times 4}\\x_2=\frac{-18+\sqrt{180}}{2 \times 4}\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x_1=\frac{-18-\sqrt{36\times 5}}{8}\\x_2=\frac{-18+\sqrt{36\times 5}}{8}\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x_1=\frac{-18-6\sqrt{5}}{8}\\x_2=\frac{-18+6\sqrt{5}}{8}\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x_1=\frac{-9-3\sqrt{5}}{4}\\x_2=\frac{-9+3\sqrt{5}}{4}\end{cases}\)

\(g(x)>f(x)\)

\(\iff -x^2-4x-3>\frac{x^2}{3}+2x\)

\(\iff 0>\frac{x^2}{3}+2x+x^2+4x+3\)

\(\iff 0>\frac{x^2}{3}+x^2+6x+3\)

\(\iff 0>\frac{4x^2}{3}+6x+3\)

\(g(x)>f(x) \iff x\in] ;\frac{-9-3\sqrt{5}}{4}\frac{-9+3\sqrt{5}}{4}[\)