Exercice : Vraie ou faux - Justifier
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Justifiez vos réponses.
Question
1. Il existe des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan tels que \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
et \(\vec{u}.\vec{v}\)= 100.
Solution
\(\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{u}||.cos((\vec{u} ;\vec{v}))\)
\(\iff 100=10.10.cos((\vec{u} ;\vec{v}))\)
\(\iff cos((\vec{u} ;\vec{v}))=1\)
Donc pour que \(\vec{u}.\vec{v}\)= 100
avec \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
il suffit de prendre
\(cos((\vec{u} ;\vec{v}))=1\)
c'est à dire \((\vec{u} ;\vec{v})=0\) en mesure principale donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) doivent être colinéaires de même sens.
Comme les deux vecteurs ont la même norme,
on en déduit que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) doivent être choisis égaux.
La propriété est donc \(\color{magenta}{vraie}\).
Question
2. Il existe des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan tels que \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
et \(\vec{u}.\)\(\vec{v}\)= -100.
Solution
\(\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{u}||.cos((\vec{u} ;\vec{v}))\)
\(\iff -100=10.10.cos((\vec{u} ;\vec{v}))\)
\(\iff cos((\vec{u} ;\vec{v}))=-1\)
Donc pour que \(\vec{u}.\vec{v}\)= -100
avec \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
il suffit de prendre
\(cos((\vec{u} ;\vec{v}))=-1\)
c'est à dire \((\vec{u} ;\vec{v})=\pi\) en mesure principale donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) doivent être colinéaires de sens contraires.
Comme les deux vecteurs ont la même norme,
on en déduit que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) doivent être choisis opposés.
La propriété est donc \(\color{magenta}{vraie}\).
Question
3. Il existe des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan tels que \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
et \(\vec{u}.\)\(\vec{v}\)= 200.
Solution
\(\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{u}||.cos((\vec{u} ;\vec{v}))\)
or \(cos((\vec{u} ;\vec{v})) \in [-1 ;1]\)
donc \(\vec{u}.\vec{v} \in 10 \times 10 \times [-1 ;1]\)
\(\iff \vec{u}.\vec{v} \in [-100 ;100]\)
donc il n'existe pas de vecteurs
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan tels que \(||\vec{u}||\)= \(||\vec{v}||\)= 10
et \(\vec{u}.\)\(\vec{v}\)= 200.
La propriété est donc \(\color{magenta}{fausse}\).
Question
4. Si les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont non nuls, alors leur produit scalaire \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est non nul.
Solution
Si on choisit les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) du plan tels que \(||\vec{a}||\)= \(||\vec{b}||\)= 10
et \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) orthogonaux alors :
\((\vec{a};\vec{b})=\frac{\pi}{2}\) ou \((\vec{a};\vec{b})=-\frac{\pi}{2}\)
alors
Si \((\vec{a};\vec{b})=\frac{\pi}{2}\):
alors \(\vec{a}.\vec{b}=||\vec{a}||.||\vec{b}||.cos((\vec{a} ;\vec{b}))\)
\(\iff \vec{a}.\vec{b}=10.10.cos(\frac{\pi}{2})\)
\(\iff \vec{a}.\vec{b}=10.10.0\)=0
Si \((\vec{a};\vec{b})=-\frac{\pi}{2}\):
alors \(\vec{a}.\vec{b}=||\vec{a}||.||\vec{b}||.cos((\vec{a} ;\vec{b}))\)
\(\iff \vec{a}.\vec{b}=10.10.cos(-\frac{\pi}{2})\)
\(\iff \vec{a}.\vec{b}=10.10.0\)=0
donc il existe des vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) non nuls, tels que leur produit scalaire \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
est non nul.
La propriété est donc \(\color{magenta}{fausse}\).
Question
5. Si trois points A, B et C du plan sont tels que \(\vec{AB} .\vec{AC} = AB \times AC\),
alors les points A, B et C sont alignés.
Solution
\(\vec{AB} .\vec{AC} = AB \times AC \times cos((\vec{AB} ;\vec{AC}))\)
Si \(\vec{AB} .\vec{AC} = AB \times AC\)
alors
\(cos((\vec{AB} ;\vec{AC}))=1\)
on en déduit que \((\vec{AB} ;\vec{AC})=0\) en mesure principale donc que
\(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont donc colinéaires de même sens,
on en déduit que les points A, B et C sont alignés.
La propriété est donc \(\color{magenta}{vraie}\).
Question
6. Si trois points A , B et C du plan sont alignés, alors \(\vec{AB}.\vec{AC} = AB \times AC\).
Solution
Si les points C ;A ; B sont alignés dans cet ordre alors :
\((\vec{AB} ;\vec{AC}) =\pi\)
alors \(\vec{AB} . \vec{AC}= AB \times AC \times cos((\vec{AB} ;\vec{AC}))\)
\(\iff \vec{AB} .\vec{AC} = AB \times AC \times cos(\pi)\)
\(\iff \vec{AB} .\vec{AC} = AB \times AC \times (-1)\)
\(\iff \vec{AB} .\vec{AC} = -AB \times AC\)
or \(AB \times AC = -AB \times AC\)
\(\iff 2AB \times AC=0\)
\(\iff AB \times AC=0\)
donc si AB=0 ou si AC=0
donc dans le cas général,
la propriété est donc \(\color{magenta}{fausse}\).
Question
7. On considère trois points distincts R, S et T du plan.
L'angle \(\widehat{RST}\) est obtus
si, et seulement si,
le produit scalaire \(\vec{SR}.\vec{ST}\) est un nombre réel négatif.
Solution
\(\vec{SR} .\vec{ST} = SR \times ST \times cos((\vec{SR} ;\vec{ST}))\)
\(cos((\vec{SR} ;\vec{ST})) =cos(\widehat{RST})\)
donc
\(\vec{SR} .\vec{ST} = SR \times ST \times cos(\widehat{RST})\)
Si l'angle \(\widehat{RST}\) est obtus,
\(cos(\widehat{RST})\) est un nombre réel négatif.
donc \(\vec{SR} .\vec{ST}\) est un nombre réel négatif.
Si \(\vec{SR} .\vec{ST}\) est un nombre réel négatif alors
\(SR \times ST \times cos(\widehat{RST})\) est un nombre réel négatif
or SR>0 et ST>0 donc \(cos(\widehat{RST})\) est un nombre réel négatif
La propriété est donc \(\color{magenta}{vraie}\).