Exercice : Jeu de dés à la calculatrice [Chapitre VIII Probabilités]

Jeu de dés à la calculatrice

\(\color{red}{\textbf{Autre problème équivalent :}}\)

\(\color{magenta}{\textbf{I Un dé à douze faces ou deux dés à six faces ?}}\)

Des adolescents jouent à un jeu de plateau nécessitant deux dés à 6 faces que l'on lance simultanément puis on effectue la somme afin d'obtenir le score.

Malheureusement, un dé est perdu, mais l'un des adolescents (Marc) possède un dé à 12 faces et fait la proposition suivante.

« Si on remplace les deux dés à 6 faces par le mien (12 faces), il nous suffira de rejouer lorsque l'on tombera sur la face 1 et cela fera pareil. »

Certains jeunes du groupe froncent les sourcils et l'un d'entre eux (Sylvain) s'étonne.

« Je ne suis pas certain que le dé à 12 faces puisse remplacer les deux dés à 6 faces. »

1) D'après vous qui a raison ? Marc ou Sylvain ?

2) Proposer un protocole expérimental permettant de simuler une expérience aléatoire, afin de répondre à la problématique.

\(\color{magenta}{II Utilisation de la calculatrice}\)

Utiliser les touches pour rentrer dans le menu \(\textbf{« APPLICATIONS»}\),

Choisir l'application \(\textbf{« Prob Sim» - Faire rouler des dés.}\)

1. Appuyer sur la touche \(\textbf{PARAM}\) afin de régler le nombre de dés à « deux dés à 6 faces ».

Lancer le dé : \(\textbf{« ROULE »}\) puis faire \(\textbf{« +1 »}\) pour relancer le dé.

Pour le second essai, on procédera de la même façon pour un dé à 12 faces.

2. Est-il possible de substituer les dés à 6 faces par un dé à 12 faces ?

Exemple de résultat pour deux dés à 6 faces (20 essais)

Exemple de résultat pour un dé à 12 faces (20 essais)

Exemple de résultat pour deux dés à 6 faces (340 essais)

Exemple de résultat pour un dé à 12 faces (340 essais)

\(\color{red}{\textbf{Au vu des lancers, la répartition des résultats avec les lancers de deux dés à 6 faces ou les lancers d'un dé à 12 faces n'est pas équivalent.}}\)

\(\color{magenta}{\text{Loi de probabilité pour les 2 dés à 6 faces :}}\)

- un 2 : (1,1) 1 issue

-un 3 : (1,2) et(2,1) 2 issues

- un 4 :(1,3),(2,2),(3,1) 3 issues

- un 5 :(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 4 issues

- un 6 :(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 5 issues

- un 7 :(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6 ,1) 6 issues

- un 8 :(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 5 issues

- un 9 :(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 4 issues

- un 10 :(4,6),(5,5),(6,4) 3 issues

- un 11 :(5,6),(6,5) 2 issues

-un 12 : (6,6) 1 issue

Résultat	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Probabilité	\(\frac{1}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)=\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{3}{36}\)=\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{4}{36}\) =\(\frac{1}{9}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{6}{36}\)=\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{4}{36}\) =\(\frac{1}{9}\)	\(\frac{3}{36}\)= \(\frac{1}{12}\)	\(\frac{2}{36}\) =\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)

Résultat

Probabilité

\(\frac{1}{36}\)

\(\frac{2}{36}\)=\(\frac{1}{18}\)

\(\frac{3}{36}\)=\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{4}{36}\)

=\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{5}{36}\)

\(\frac{6}{36}\)=\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{5}{36}\)

\(\frac{4}{36}\)

=\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{3}{36}\)=

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{2}{36}\)

=\(\frac{1}{18}\)

\(\frac{1}{36}\)

\(\color{magenta}{\text{Loi de probabilité pour un dé à 12 faces :}}\)

Résultat	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Probabilité	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)