Exercice : Difficile 4 : Triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [BC], H est le pied de la hauteur issue de A,

L et K sont les projetés orthogonaux de H sur (AC) et (AB) respectivement.

Démontrer que (AI) et (LK) sont perpendiculaires

Question

1. Montrer que \(\vec{AI} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}\)

Indice

Par la relation de Chasles :

\(\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{BI}\)

or I est le milieu de [BC]

donc \(\vec{BI}=\frac{1}{2} \vec{BC}\)

Finalement : \(\vec{AI} = \vec{AB} +\frac{1}{2} \vec{BC}\)

Question

2. En introduisant le point A dans le vecteur \(\vec{BC}\) montrer que

\(\vec{AI} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\)

Solution

\(\vec{AI} = \vec{AB} +\frac{1}{2} \vec{BC}\)

Par la relation de Chasles :

\(\vec{BC} =\vec{BA} + \vec{AC}\)

\(\vec{AI} = \vec{AB} +\frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)

\(\iff \vec{AI} = \vec{AB} +\frac{1}{2} \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{AC}\)

\(\iff \vec{AI} = \vec{AB} -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\)

\(\iff \vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\)

\(\iff \vec{AI} = \frac{1}{2}( \vec{AB} +  \vec{AC})\)

Question

3.Justifier que

\(\vec{AB}\cdot\vec{LK}\)=\(\vec{AB}\cdot\vec{AK}\)=\(\vec{AB}\cdot\vec{AH}\)

Solution

L se projette orthogonalement en A sur (AB) donc :

\(\vec{AB}\cdot\vec{LK}\)=\(\vec{AB}\cdot\vec{AK}\)

H se projette en K sur (AB)

donc :

\(\vec{AB}\cdot\vec{AK}\)=\(\vec{AB}\cdot\vec{AH}\)

Finalement :

\(\vec{AB}\cdot\vec{LK}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}\)

Question

4.Justifier que

\(\vec{AC}\cdot\vec{LK}\)=\(\vec{AC}\cdot\vec{LA}=-\vec{AC}\cdot\vec{AH}\)

Solution

K se projette orthogonalement en A sur (AC) donc :

\(\vec{AC}\cdot\vec{LK}\)=\(\vec{AC}\cdot\vec{LA}\)

H se projette en L sur (AB)

donc :

\(\vec{AC}\cdot\vec{LA}\)=\(\vec{AC}\cdot\vec{HA}\)=-\(\vec{AC}\cdot\vec{AH}\)

Finalement :

\(\vec{AC}\cdot\vec{LK}=-\vec{AC}\cdot\vec{AH}\)

Question

5.Montrer que le produit scalaire \(\vec{AI} \cdot \vec{LK}\) est nul.

Solution

\(\vec{AI} \cdot \vec{LK}\) =\(\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})\cdot\vec{LK}\)

\(=\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot\vec{LK}+\frac{1}{2}\vec{AC}\cdot\vec{LK}\)

\(=\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot\vec{AK}+\frac{1}{2}\vec{AC}\cdot(\vec{LA})\)

\(=\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot\vec{AH}+\frac{1}{2}\vec{AC}\cdot(-\vec{AH})\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{AC})\cdot(\vec{AH})\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{CA})\cdot(\vec{AH})\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{CB})\cdot(\vec{AH})=0\)

Question

6.Que peut on en déduire pour les droites (BC) et (AH) ?

Solution

(AI) est donc perpendiculaire à (LK)