Chapitre X Produit scalaire

On a :

\(\overrightarrow{DA}(-3 - 1 ; -7 - (-4))\) soit \(\overrightarrow{DA}(-4 ; -3)\) et \(||\overrightarrow{DA}|| = \sqrt{(-4)² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

\(\overrightarrow{DB}(9 - 1 ; 2 - (-4))\) soit \(\overrightarrow{DB}(8 ; 6)\) et \(||\overrightarrow{DB}|| = \sqrt{8² + 6²} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)

\(\overrightarrow{DA} . \overrightarrow{DB} = -4 \times 8 - 3 \times 6 = -32 - 18 = -50\)

\(\cos(\overrightarrow{DA} , \overrightarrow{DB}) = \frac{\overrightarrow{DA} . \overrightarrow{DB}}{||\overrightarrow{DA}|| \times ||\overrightarrow{DB}||} = \frac{-50}{5 \times 10} = -\frac{50}{50} = -1\)

On a :

\(\overrightarrow{AB}(9 - (-3) ; 2 - (-7))\) soit \(\overrightarrow{AB}(12 ; 9)\)

\(\overrightarrow{BC}(16 - 9 ; -24 - 2)\) soit \(\overrightarrow{BC}(9 ; -26)\)

\(\overrightarrow{CA}(-3 - 16 ; -7 - (-24))\) soit \(\overrightarrow{CA}(-19 ; 17)\)

Si deux vecteurs sont orthogonaux leur produit scalaire est nul.

\(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC} = 12 \times 9 + 9 \times (-26) = -126 \neq 0\)

\(\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA} = 9 \times (-19) - 26 \times 17 = -613 \neq 0\)

\(\overrightarrow{CA} . \overrightarrow{AB} = -19 \times 12 + 17 \times 9 = -75 \neq 0\)

(CD) \(\bot\) (AB) si \(\overrightarrow{CD} . \overrightarrow{AB} = 0\)

On a \(\overrightarrow{AB}(12 ; 9)\) et \(\overrightarrow{CD}(1 - 16 ; -4 - (-24))\) soit \(\overrightarrow{CD}(-15 ; 20)\)

\(\overrightarrow{CD} . \overrightarrow{AB} = -15 \times 12 + 20 \times 9 = -180 + 180 = 0\)