D'après la relation de Chasles on a :
\(\overrightarrow{AB} . (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC}) = (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC}) . \overrightarrow{AH}\)
Or \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{HC}\) sont orthogonaux donc \(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{HC} = 0\). De même \(\overrightarrow{AH} . \overrightarrow{HC} = 0\).
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont colinéaires et de même sens ou de sens contraire.
On obtient donc :
\(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{AH}\)
\(\pm AB \times AH = AH²\)
\(\pm AB = AH\)
Deux cas se présentent :
- soit \(-AB = AH\), ce qui n'a pas de sens (AB et AH > 0),
- soit \(+AB = AH\), ce qui signifie que B et H sont confondus.
Pour être validée, l'égalité proposée doit être valable dans tous les cas de figure.