Exercice : Bibliotheque

Un étudiant peut emprunté au maximum un livre et un magazine.

Un bibliothécaire a constaté que :

– Lorsqu'un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité égale à 0,3 ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours.

– Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux.

– La probabilité qu'il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est 0,24.

– Lorsqu'il prend un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine.

Un étudiant entre dans la bibliothèque et emprunte un livre.

On notera :

B l'événement « il emprunte une bande dessinée » ;

R l'événement « il emprunte un roman » ;

C l'événement « il emprunte un livre de cours » ;

M l'événement « il emprunte un magazine »

Question

1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

Solution

p(B)=0,3

\(p(R)=\frac{1}{5}=0,2\)

\(p_R(M)=0,5\)

\(p_R(\overline{M})=1−0,5=0,5\)

\(p_C(\overline{M})=1\)

Question

2. Calculer la probabilité qu'il choisisse un livre de cours.

Solution

p(B)+p(R)+p(C)=1 d'où p(C)=1−(0,3+0,2)=0,5

La probabilité qu'un étudiant choisisse un livre de cours est égale à 0,5.

Question

3. Calculer la probabilité qu'il emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée.

Solution

\(p_R(M)=\frac{p(R∩M)}{p(R)}\) soit \(p_R(M)=\frac{0,24}{0,3}\)=0,8

La probabilité qu'un étudiant emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée est égale à 0,8.

Question

4. Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.

Solution

Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.

Les évènements B, R et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :

p(M)=p(B∩M)+p(R∩M)+p(C∩M)

Or p(C∩M)=0 et

p(R∩M)=\(p_R(M)\)×p(R).

Soit p(R∩M)=0,5 × 0,2=0,1.

D'où p(M)=0,24+0,1= 0,34

Ainsi, la probabilité qu'un étudiant reparte avec un magazine est égale à 0,34.

Question

5. Quelle est la probabilité qu'il emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine ?Le résultat sera arrondi au millième.

Solution

5.\(p_M(R)=\frac{p(R∩M)}{p(M)}\)

soit \(p_M(R)=\frac{0,1}{0,34}=\frac{5}{17}=\frac{5}{17}\simeq0,294\)

Arrondie au millième, la probabilité qu'un étudiant emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine est environ 0,294 soit environ 29,4 %.