Exercice : Centre Loisir

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60% de collégiens et 40% de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables.

Cette étude a montré que 80% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens,

70% en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux événements suivants :

C : "le jeune choisi est un collégien" ;

L : "le jeune choisi est un lycéen" ;

T : "le jeune choisi possède un téléphone portable"

Question

1. Donner les probabilités : \(p(C),p(L),p(T),p_C(T).\)

Solution

\(p(C) =\frac{60}{100}=0,6\)

\(p(L) =\frac{40}{100}= 0,4\)

\(p(T) =\frac{80}{100}= 0,8\)

\(p_C(T) =\frac{70}{100}\)

Question

2.Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à la renseigner avec les données de l'énoncé.

Solution

Question

3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.

Solution

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

\(p_C(T) =\frac{p(C \cap T)}{p(C)}\)

\(0,7 =\frac{p(C \cap T)}{0,6}\)

\(p(C \cap T ) = 0, 7 \times 0,6\)

\(p(C \cap T) = 0,42\)

Question

4.Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.

Solution

\(p_T(C)=\frac{p(T \cap C)}{p(T)}\)

\(p_T(C)=\frac{0,42}{0,8}\)

\(p_T(C)= 0,525\)

Question

5.a. Calculer \(p(T \cap L)\), en déduire \(p_L(T)\).

Solution

Les deux événements C et L forment une partition de l'univers :

\(C \cap L= ∅\) : un jeune ne peut être un collégien et un lycéen en même temps;

\(C \cup L= Ω\)

donc p(C)+p(L)=0,6+0,4=1

D'après la formule des probabilités totales, on a :

\(p(T) =p(C \cap T) + p(L \cap T)\)

\(0,8 = 0,42 + p(L \cap T)\)

donc \(p(L \cap T) = 0,8-042=0,38\)

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

\(p_L(T) =\frac{p(L \cap T)}{p(L)}\)

\(p_L(T) =\frac{0,38}{0,4}\)

\(p_L(T) = 0,95\)

Question

b.Compléter l'arbre construit dans la question 2.

Solution