Exercice : Champignon

Un stock de champignons est constitué de trois variétés de champignons conditionnés en barquettes.

Ces barquettes proviennent exclusivement de France ou d'Italie.

Ce stock est composé de 50% de barquettes de cêpes, 30% de barquettes de girolles et de 20% de barquettes de morilles.

  • 15 % des barquettes de cêpes proviennent d'Italie.

  • 20 % des barquettes de girolles proviennent d'Italie.

  • 21,5 % des barquettes proviennent d'Italie.

On choisit une barquette de ce stock au hasard.

On notera les événements suivants :

– C : « La barquette choisie contient des cêpes » ;

– G : « La barquette choisie contient des girolles » ;

– M : « La barquette choisie contient des morilles » ;

– I : « La barquette choisie provient d'Italie » ;

– F : « La barquette choisie provient de France ».

Question

1. Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des cêpes et provienne d'Italie ?

Solution

\(p(C \cap I)=0,5 \times 0,15=0,075\)

Question

2. Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des cèpes et provienne de France ?

Solution

\(p(C \cap \overline{I})=0,5 \times 0,85=0,425\)

Question

3. Montrer que la probabilité que la barquette de morille provienne d'Italie  est 0,4.

Solution

\(p(I)=p(I \cap C)+p(I \cap G)+p(I \cap M)=0,075+0,3 \times 0,2+p(I \cap M)= 0,215\). d'après la formules des probabilités totales.

\(0,075+0,06+p(I \cap M)= 0,215.\)

\(0,135+p(I \cap M)= 0,215.\)

\(p(I \cap M)=0,215-0,135=0,08\)

or \(p_M(I)=\frac{p(I \cap M)}{p(M})\)

donc \(p_M(I)=\frac{p(I \cap M)}{p(M})=\frac{0,08}{0,2}=0,4\)

donc 40% des morilles proviennent d'Italie.

Question

4. Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des cèpes sachant que cette barquette provient d'Italie ? On donnera une valeur arrondie à \(10^{−3}\) .

Solution

La probabilité que la barquette choisie contienne des cèpes sachant que cette barquette provient d'Italie est \(p_I(M)=\frac{p(I \cap M)}{p(I)}=\frac{0,08}{0,215}\simeq0,372\) soit environ 37,2% de chance.

Question

5. La barquette choisie provient de France. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de girolles ? On donnera une valeur arrondie à \(10^{−3 }\).

Solution

\(p_F(G)=\frac{p(F \cap G)}{p(\overline{I})}=\frac{0,8 \times 0,3}{1-0,215}=\frac{0,24}{1-0,215}\simeq0,306\) soit environ 30,6% de chance.