Exercice : Autoroute

A une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

  • 28% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnées;

    un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;

  • 52% des automobilistes empruntent la voie du centre,réservée au paiement par carte bancaire;

    parmi ces derniers, 75% franchissent le péage en moins de 10 secondes;

  • les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets)

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

G : "l'automobiliste emprunte la voie de gauche" ;

C : "l'automobiliste emprunte la voie du centre" ;

D : "l'automobiliste emprunte la voie de droite" ;

T : "l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes"

Question

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

Solution

Question

2. Calculer la probabilité \(p(C \cap T)\)

Solution

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

\(p_C(T) =\frac{p(C \cap T)}{p(C)}\)

\(\iff 0,75 =\frac{p(C \cap T)}{0,52}\)

\(\iff p(C \cap T) = 0,75 \times 0,52\)

\(\iff p(C \cap T) = 0,39\)

3. L'étude a aussi montré que 70% des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

Question

a. Justifier que \(p(D \cap T)=0,03\)

Solution

L'information supplémentaire donnée dans l'énoncé permet d'écrire :

p(T) = 0,7

Les événements G, C et D forment une partition de l'univers :

\(G \cup C \cup D=Ω\) : la gare de péage comporte trois voies.

Les évéments G, C et D sont disjoints deux à deux :

un automobilistes ne peut pas prendre deux voies à la fois.

D'après la formule des probabilités totales, on a :

\(p(T) = p(G \cap T) + p(C \cap T) + p(D\cap T)\)

\(\iff 0,7 = 0,28 + 0,39 + p(D \cap T)\)

\(\iff 0,7 = 0;67 + p(D \cap T)\)

\(\iff p(D \cap T) = 0;7 - 0,67\)

\(\iff p(D \cap T) = 0,03\)

Question

b.Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.

Solution

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

\(p_D(T) =\frac{p(D \cap T)}{p(D)}\)

\(\iff p_D(T) \frac{0,03}{1 - 0,28 - 0,52}\)

\(\iff p_D(T) =\frac{0,03}{0,2}\)

\(\iff p_D(T) = 0,15\)