Exercice : Loterie Voyage

Une classe organise une loterie pour financer un voyage scolaire. 100 billets numérotés de 1 à 100 sont vendus chacun au prix de 4 euros.

Les acheteurs ne voient pas les numéros inscrits sur les billets. il est annoncé :

- un billet dont le numéro se termine par 5 gagne 10 euros

- un billet dont le numéro commence par 6 gagne 20 euros

- en achetant un billet vous pouvez gagner jusqu'à 30 euros

- tout billet gagnant est remboursé

Question

1.Dans quel cas gagnera t-on 30 euros ?

Solution

On gagne 30€ si le billet commence par 6 et se termine par 5

Comme les billets sont numérotés de 1 à 100 : le seul billet qui permet de gagner 30€ porte le numéro 65.

Question

2. Parmi les 100 billets combien permettent de gagner : 10€ 20€ et 30 €

Solution

Il y a donc un billet qui permet de gagner 30€ (le numéro 65)

Pour gagner 20€, il faut que le billet commence par 6 (sauf le numéro 65) ce sont donc les numéros 6,60,61,62,63,64,66,67,68,69 soit 10 numéros.

Pour gagner 10€, il faut que le billet termine par 5 (sauf le numéro 65) ce sont donc les numéros 5,15,25,35,45,55,75,85,95 soit 9 numéros.

Question

3. X est la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. Quel est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?

Solution

\(x_i\)

10-4=6

20-4=16

30-4=26

-4

\(p(X=x_i)\)

\(\frac{9}{100}\)

\(\frac{10}{100}\)

\(\frac{1}{100}\)

\(\frac{100-9-10-1}{100}=\frac{80}{100}\)

Question

4. Calculer l’espérance de gain du joueur ?

Solution

\(E(X)=6\times \frac{9}{100}+16 \times \frac{10}{100}+26 \times \frac{1}{100}+(-4)\times \frac{80}{100}\)

\(E(X)=\frac{54}{100}+ \frac{160}{100}+ \frac{26}{100}+\frac{-320}{100}\)

\(E(X)=\frac{54+160+26-320}{100}\)

\(E(X)=\frac{-80}{100}=-0,8\)

Donc la vente des billets va rapporter en moyenne 0,8€ par billet vendu à la classe.

Question

5.Calculer la variance de gain du joueur ?

Solution

\(V(X)=6\times (\frac{9}{100}-(\frac{-80}{100}))^2+16 \times (\frac{10}{100}-(\frac{-80}{100}))^2+26 \times (\frac{1}{100}-(\frac{-80}{100}))^2+(-4)\times (\frac{80}{100}-(\frac{-80}{100}))^2\)

\(V(X)=6\times (\frac{9}{100}+\frac{80}{100})^2+16 \times (\frac{10}{100}+\frac{80}{100})^2+26 \times (\frac{1}{100}+\frac{80}{100})^2+(-4)\times (\frac{80}{100}+\frac{80}{100})^2\)

\(V(X)=6\times (\frac{89}{100})^2+16 \times (\frac{90}{100})^2+26 \times (\frac{81}{100})^2-4\times (\frac{160}{100})^2\)

\(V(X)=\frac{1}{10000}[6\times 89^2+16 \times 90^2+26 \times 81^2-4\times160^2]\)

\(V(X)=\frac{1}{10000}[245312]=24,5312\)

Question

5.Calculer l'écart type de gain du joueur ?

Solution

\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{24,5312}\simeq4,95\)

\([E(X)-\sigma(X) ;E(X)+\sigma(X)]\simeq[-0,8-4,95 ;-0,8+4,95]\)\(\simeq[-5,75 ;4,15]\)

\(\color{red}{\textbf{En moyenne sur un grand nombre de parties, le joueur perd 0,8€ }}\)

\(\color{red}{\textbf{et on a de fortes chances que son "gain" soit situé entre -5,75 € et 4,15€}}\)