Exercice : Jeu camarade
Un camarade de classe vous propose le jeu suivant :
vous lancez trois pièces non truquées, et si vous obtenez deux fois FACE exactement, vous gagnez cinq euros, sinon vous perdez 2 €.
Question
Seriez-vous tenté par ce jeu ? Justifier votre réponse clairement en calculant l'espérance, la variance et l'écart type.
Solution
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de FACE obtenus en 3 lancers.
\(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
Soit Y la variable aléatoire associant aux lancers le gain obtenu.
\(y_i\) | 5 | -2 |
|---|---|---|
\(p(Y=y_i)\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{5}{8}\) |
\(E(Y)=\frac{3}{8} \times 5 +\frac{5}{8} \times (-2)\)
\(E(Y)=\frac{15}{8} -\frac{10}{8}\)
\(E(Y)= \frac{5}{8}=0,625\)
donc \(\color{red}{\textbf{en moyenne par partie sur un grand nombre de parties on gagne en moyenne 0,625}}\)
donc \(\color{red}{\textbf{il est intéressant de joueur à ce jeu.}}\)