Exercice : Parabole
On lance deux dés à 6 faces non pipés (un bleu et un rouge) avec des faces numérotées de 1 à 6.
On note :
\(p\) : résultat du dé bleu.
\(q\) : résultat du dé rouge.
On considère l'équation :
\(x^2+px+q= 0.\)
et on note \(X\) la variable aléatoire représentant le nombre de solutions réelles de cette équation.
Question
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
Solution
Le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré dépend de la valeur du discriminant Δ :
Si Δ>0 : l'équation a 2 solutions réelles distinctes (X=2).
Si Δ=0 : l'équation a 1 solution (X=1).
Si Δ<0 : l'équation n'a pas de solution réelle (X=0).
\(\Delta=p^2-4ac=p^2-4 \times 1 \times q=p^2-4q\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=1 :}}\)
\(p^2\)-4>0 \(\iff p^2>4\) donc p peut prendre les valeurs : 3 ,4,5,6 \(\mapsto 4 cas\)
\(p^2\)-4=0 \(\iff p^2=4\) donc p peut prendre la valeur 2
\(\mapsto 1 cas\)
\(p^2\)-4<0 \(\iff p^2<4\) donc p peut prendre la valeur 1
\(\mapsto 1 cas\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=2 :}}\)
\(p^2\)-8>0 donc \(p^2>8\) donc p peut prendre les valeurs : 3 ,4,5,6 \(\mapsto 4cas\)
\(p^2\)-8=0 \(\iff p^2=8\) aucune solution.
\(p^2\)-8<0 \(\iff p^2<8\) donc p peut prendre la valeur 1 ,2\(\mapsto 2 cas\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=3 :}}\)
\(p^2\)-12>0 donc \(p^2>12\) donc p peut prendre les valeurs : 4,5,6 \(\mapsto 3 cas\)
\(p^2\)-12=0 \(\iff p^2=12\) aucune solution.
\(p^2\)-12<0 \(\iff p^2<12\) donc p peut prendre la valeur 1,2,3 \(\mapsto 3 cas\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=4 :}}\)
\(p^2\)-16>0 donc \(p^2>16\) donc p peut prendre les valeurs : 5,6 \(\mapsto 2 cas\)
\(p^2\)-16=0 donc \(p^2=16\) donc p peut prendre la valeurs: 4 \(\mapsto 1cas\)
\(p^2\)-16<0 donc \(p^2<16\) donc p peut prendre les valeurs : 1,2 ,3 \(\mapsto 3 cas\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=5 :}}\)
\(p^2\)-20>0 donc \(p^2>20\) donc p peut prendre les valeurs : 5,6 \(\mapsto 2 cas\)
\(p^2\)-20=0 donc \(p^2=20\) aucune solution.
\(p^2\)-20<0 donc \(p^2<20\) donc p peut prendre les valeurs : 1,2,3,4
\(\mapsto 4 cas\)
\(\color{magenta}{\textbf{Si q=6 :}}\)
\(p^2\)-24>0 donc \(p^2>24\) donc p peut prendre les valeurs : 5,6
\(\mapsto 2 cas\)
\(p^2\)-24=0 donc \(p^2=24\) aucune solution.
\(p^2\)-24<0 donc \(p^2<24\) donc p peut prendre les valeurs : 1,2,3,4 \(\mapsto 4 cas\)
\(\color{red}{\textbf{p("L'équation admet deux solutions")=}\frac{17}{36}}\)
\(\color{red}{\textbf{p("L'équation admet une unique solution")=}\frac{2}{36}}\)
\(\color{red}{\textbf{p("L'équation admet aucune solution")=}\frac{17}{36}}\)
\(x_i\)
0
1
2
\(p(X=x_i)\)
\(\frac{17}{36}\)
\(\frac{2}{36}\)
\(\frac{17}{36}\)
\(E(X)=\frac{17}{36} \times 0+\frac{2}{36} \times 1+\frac{17}{36} \times 2\)
\(\iff E(X)=\frac{2}{36}+\frac{34}{36}\)
\(\iff E(X)=\frac{36}{36}=1\)
L'espérance E(X)=1 montre que, globalement, l'équation a en moyenne une solution réelle.
La variance est donnée par :
\(Var(X)=E(X^2)−(E(X))^2\)
\(E(X^2)=0^2⋅\frac{17}{36}+1^2⋅\frac{2}{36}+2^2⋅\frac{17}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\)
\(Var(X)=E(X^2)−(E(X))^2=\frac{35}{18}−1^2=\frac{35}{18}−\frac{18}{18}=\frac{17}{18}≈0.944\)
La variance révèle que le nombre de solutions peut varier significativement (souvent 0 ou 2, rarement 1), mais sans excès extrême.
Cela reflète bien le fait que le discriminant Δ est souvent soit négatif (0 solution), soit positif (2 solutions), et rarement nul (1 solution).