Exercice : Deux dés
On lance deux dés non truqués.
Quel est le jeu le plus intéressant, c'est-à-dire celui qui rapporte le plus sur un grand nombre de parties, parmi les jeux suivants ?
Joueriez vous à ce jeu ?
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu de la somme : on mise 8 (euros, bonbons, points...) et on récolte la somme des deux dés.}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 5 et 4 on gagne 9-8=1
Solution
2 :1+1 \(\mapsto \frac{1}{36}\)
3 :1+2 ;2+1\(\mapsto \frac{2}{36}\)
4 :1+3 ;2+2 ;3+1\(\mapsto \frac{3}{36}\)
5 :1+4 ;2+3 ;3+2 ;4+1\(\mapsto \frac{4}{36}\)
6 :1+5 ;2+4 ;3+3 ;4+2 ;5+1 \(\mapsto \frac{5}{36}\)
7 :1+6 ;2+5 ;3+4 ;4+3 ;5+2 ;6+1\(\mapsto \frac{6}{36}\)
8 :2+6 ;3+5 ;4+4 ;5+3 ;6+2\(\mapsto \frac{5}{36}\)
9 :3+6 ;4+5 ;5+4 ;6+3\(\mapsto \frac{4}{36}\)
10 :4+6 ;5+5 ;6+4 \(\mapsto \frac{3}{36}\)
11 :5+6 ;6+5\(\mapsto \frac{2}{36}\)
12 :6+6\(\mapsto \frac{1}{36}\)
\(x_i\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
\(E(X)=\frac{1}{36}\times 2 +\frac{2}{36} \times 3 + \frac{3}{36} \times 4 +\frac{4}{36} \times 5\)
\(+\frac{5}{36} \times 6 +\frac{6}{36} \times 7 +\frac{5}{36} \times 8 +\frac{4}{36} \times 9 +\frac{3}{36} \times 10+\frac{2}{36} \times 11 +\frac{1}{36} \times 12\)
\(E(X)=\frac{2}{36}+\frac{6}{36} + \frac{12}{36} +\frac{20}{36}+\frac{30}{36} +\frac{42}{36} +\frac{40}{36}+\frac{36}{36} +\frac{30}{36} +\frac{22}{36} +\frac{12}{36}\)
\(E(X)=\frac{252}{36}=7\)
donc pour une mise de 8 on gagnera en moyenne \(7-8\)=\(\color{red}{-1}\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu du produit : on mise 12 (euros, bonbons, points...) et on récolte le produit des deux dés.}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 5 et 3 on gagne 15-12=3
Solution
\(\times\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
\(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 18 | 16 | 20 | 24 | 25 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
\(E(X)=\frac{1}{36}\times 1 +\frac{2}{36} \times 2 + \frac{2}{36} \times 3 +\frac{3}{36} \times 4\)
\(+\frac{2}{36} \times 5 +\frac{4}{36} \times 6 +\frac{2}{36} \times 8 +\frac{1}{36} \times 9 +\frac{2}{36} \times 10+\frac{4}{36} \times 12 +\frac{2}{36} \times 15\)
\(+\frac{2}{36} \times 18 +\frac{1}{36} \times 16 +\frac{2}{36} \times 20 +\frac{2}{36} \times 24 +\frac{1}{36} \times 25+\frac{2}{36} \times 30 +\frac{1}{36} \times 36\)
\(E(X)=\frac{1}{36}+\frac{4}{36} + \frac{6}{36} +\frac{12}{36}+\frac{10}{36} +\frac{24}{36} +\frac{16}{36}+\frac{9}{36} +\frac{20}{36} +\frac{48}{36} +\frac{30}{36}\)
\(+\frac{36}{36} +\frac{16}{36} +\frac{40}{36}+\frac{48}{36} +\frac{25}{36}+\frac{60}{36} +\frac{36}{36}\)
\(E(X)=\frac{441}{36}=\frac{147}{12}\)
donc pour une mise de 12 on gagnera en moyenne \(\frac{147}{12}-12\)=\(\frac{147}{12}-\frac{144}{12}=-\frac{3}{12}=-\frac{1}{4}=-0,25\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu du maximum : on mise 4 (euros, bonbons, points...) et on récolte le maximum des deux dés.}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 5 et 4 on gagne 5-4=1
Solution
Maximum | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 6 |
5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 |
6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
\(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{7}{36}\) | \(\frac{9}{36}\) | \(\frac{11}{36}\) |
\(E(X)=\frac{1}{36}\times 1 +\frac{3}{36} \times 2 + \frac{5}{36} \times 3 +\frac{7}{36} \times 4\)\( +\frac{9}{36} \times 5 +\frac{11}{36} \times 6\)
\(E(X)=\frac{1}{36}+\frac{6}{36}+ \frac{15}{36} +\frac{28}{36} +\frac{45}{36} +\frac{66}{36}\)
\(E(X)=\)\(\frac{161}{36}\)
donc pour une mise de 4 on gagnera en moyenne \(\frac{161}{36}-4\)=\(\frac{161}{36}-\frac{144}{36}=\frac{17}{36}\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu du minimum : on mise 2 (euros, bonbons, points...) et on récolte le minimum des deux dés.}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 5 et 3 on gagne 3-2=1
\(\color{red}{\textbf{Jeu du minimum}}\)
Solution
Minimum | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 |
5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 |
6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
\(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{11}{36}\) | \(\frac{9}{36}\) | \(\frac{7}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
\(E(X)=\frac{1}{36}\times 6 +\frac{3}{36} \times 5 + \frac{5}{36} \times 4 +\frac{7}{36} \times3\)\( +\frac{9}{36} \times 2 +\frac{11}{36} \times 1\)
\(E(X)=\frac{6}{36}+\frac{15}{36}+ \frac{20}{36} +\frac{21}{36} +\frac{18}{36} +\frac{11}{36}\)
\(E(X)=\)\(\frac{91}{36}\)
donc pour une mise de 4 on gagnera en moyenne \(\frac{91}{36}-2\)=\(\frac{91}{36}-\frac{72}{36}=\frac{19}{36}\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu de la différence : on mise 2 (euros, bonbons, points...) et on récolte la différence des deux dés (le maximum moins le minimum).}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 1 et 4 on gagne (4-1)-2=1.
Solution
- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
\(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{10}{36}\) | \(\frac{8}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) |
\(E(X)=\frac{6}{36}\times 0+\frac{10}{36} \times 1 + \frac{8}{36} \times 2 +\frac{6}{36} \times3\)\( +\frac{4}{36} \times 4 +\frac{2}{36} \times 5\)
\(E(X)=\frac{10}{36}+\frac{16}{36}+ \frac{18}{36} +\frac{16}{36} +\frac{10}{36}\)
\(E(X)=\)\(\frac{70}{36}\)
donc pour une mise de 4 on gagnera en moyenne \(\frac{70}{36}-2\)=\(\frac{70}{36}-\frac{72}{36}=-\frac{2}{36}=-\frac{1}{18}\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu du quotient : on mise 2 (euro, bonbon, point...) et on récolte le quotient des deux dés (le maximum divisé par le minimum).}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 3 et 4 on gagne \(\frac{4}{3}-2=\frac{-2}{3}\).
Solution
Quotient | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 1 | 1,5 | 2 | 2 ,5 | 3 |
3 | 3 | 1,5 | 1 | \(\frac{4}{3}\) | \(\frac{5}{3}\) | 2 |
4 | 4 | 2 | \(\frac{4}{3}\) | 1 | 1,25 | 1,5 |
5 | 5 | 2,5 | \(\frac{5}{3}\) | 1,25 | 1 | 1,2 |
6 | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
\(x_i\) | 1 | 1,2 | 1,25 | \(\frac{4}{3}\) | 1,5 | \(\frac{5}{3}\) | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) |
\(E(X)=\frac{6}{36}\times 1+\frac{2}{36} \times 1,2 + \frac{2}{36} \times 1,25+\frac{2}{36}\times \frac{4}{3}+\frac{2}{36}\times 1,5+\frac{2}{36} \times \frac{5}{3}+\frac{2}{36} \times 2 + \frac{6}{36} \times 2,5\)\( +\frac{2}{36} \times 3 +\frac{2}{36} \times 4+\frac{2}{36} \times 5+\frac{2}{36} \times 6\)
\(E(X)=\frac{6}{36}+\frac{2,4}{36}+ \frac{2,5}{36} +\frac{8}{108} +\frac{3}{36}+\frac{10}{108} +\frac{4}{36}+\frac{15}{36}+\frac{6}{36} +\frac{8}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}\)
\(E(X)=\)\(\frac{18}{108}+\frac{7,2}{108}+ \frac{7,5}{108} +\frac{8}{108} +\frac{9}{108}+\frac{10}{108} +\frac{12}{108}+\frac{45}{108}+\frac{18}{108} +\frac{24}{108}+\frac{30}{108}+\frac{36}{108}\)
\(E(X)=\)\(\frac{224,7}{108}\)
donc pour une mise de 2 on gagnera en moyenne \(\frac{224,7}{108}-2\)=\(\frac{224,7}{108}-\frac{216}{108}=\frac{8,7}{108}\)
Question
\(\color{red}{\textbf{Jeu de la moyenne : on mise 1 (euros, bonbons, points...) et on récolte la moyenne des deux dés.}}\)
Par exemple, si les dés tombent sur 2 et 5 on gagne \(\frac{5+2}{2}-1=2,5\)
Solution
Moyenne | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 |
2 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 |
3 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
4 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 |
6 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 |
\(x_i\) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
\(E(X)=\frac{1}{36}\times 1 +\frac{2}{36} \times 1,5 + \frac{3}{36} \times 2 +\frac{4}{36} \times 2,5\)\( +\frac{5}{36} \times 3+\frac{6}{36} \times 3,5 +\frac{5}{36} \times 4+\frac{4}{36} \times 4,5 +\frac{3}{36} \times 5+\frac{2}{36} \times 5,5+\frac{1}{36} \times 6\)
\(E(X)=\frac{1}{36}+\frac{3}{36}+ \frac{6}{36} +\frac{10}{36} +\frac{15}{36} +\frac{11}{36}+\frac{6}{36}\)
\(E(X)=\)\(\frac{52}{36}\)
donc pour une mise de 1 on gagnera en moyenne \(\frac{52}{36}-1\)=\(\frac{52}{36}-\frac{36}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)