Exemple 1

Une personne a dans sa poche une pièce de 2 €, une pièce de 1€ et deux pièces de 0,5€.

Elle prend dans sa poche une pièce au hasard, puis une deuxième sans avoir remis la première.

Question

1. Modéliser cette expérience par un arbre.

Solution

2. En déduire la probabilité de chacun des événements suivants :

Question

A : « Les deux pièces sont identiques » ;

Solution

p(« Les deux pièces sont identiques »)

\(=\frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\)

\(=\frac{2}{12}\)

\(=\frac{1}{6}\)

Question

B : « Les deux pièces sont différentes » ;

Solution

p(« Les deux pièces sont différentes »)

\(=p(\overline{« Les deux pièces sont identiques » }\))

=1-p(« Les deux pièces sont identiques »}

\(=1-\frac{1}{6}\)

\(=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}\)

\(=\frac{5}{6}\)

\(\color{magenta}{\text{Deuxième méthode de calcul :}}\)

\(p(« Les deux pièces sont différentes »)\)

=\( \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\)

\(= \frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+\frac{2}{12} +\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\)

\(= \frac{10}{12}\)

\(= \frac{5}{6}\)

Question

C : « La somme totale est égale à 1,50€» ;

Solution

p(« La somme totale est égale à 1,50€»)

=\( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\)

=\( \frac{2}{12} }+\frac{2}{12}\)

\(= \frac{4}{12}\)

\(= \frac{1}{3}\)

Question

D : « La somme totale est supérieure à 2€»

Solution

p(« La somme totale est supérieure à 2€»)

=\( \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}+ \frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\)

=\( \frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+ \frac{2}{12}\)

=\( \frac{6}{12}= \frac{1}{2}\)