Exemple 18

Dans un lycée, en 2019, il y a eu 90% de réussite au baccalauréat.

Le tableau suivant donne, parmi les élèves qui ont réussi, la répartition en pourcentages de la mention qu'ils ont obtenue.

Mention

Sans mention

AB

B

TB

Pourcentage

35

30

23

12

On rencontre au hasard un élève qui était en Terminale dans ce Lycée l'année scolaire 2018-2019.

On s'intéresse aux événements suivants :

R : « l'élève a réussi son baccalauréat. »

M : « l'élève a réussi son baccalauréat avec mention. »

T : « l'élève a réussi son baccalauréat avec mention TB. »

Question

1.Donner la valeur de p(R)

Solution

\(p(R)=\frac{90}{100}=0,9\)

Question

2.Calculer p(M) et p(T)

Solution

\(p(M)=\frac{90}{100}\times\frac{65}{100}=0,9\times0,65=0,585\)

\(p(T)=\frac{90}{100}\times\frac{12}{100}=0,9\times0,12=0,1085\)

Question

3.Définir par une phrase l’événement \(\overline{M}\)

Solution

\(\overline{M}\) correspond à l’événement l'élève n'a pas réussi son bac ou l'a réussi son bac sans mention

\(p(\overline{M})=1-p(M)=1-0,585=0,415\) soit 41,5% que l'élève ne réussit pas son bac ou l'obtienne sans mention.

Question

4. On appelle S l’événement « l'élève a réussi le baccalauréat sans mention. » Vérifier que \(p(\overline{M})=p(\overline{R} )+p(S\))

Solution

\(p(\overline{M})\)=\(p(\overline{R} )+p(S\)) car \(\overline{M}\) correspond à l’événement l'élève n'a pas réussi son bac ou l'a réussi son bac sans mention

donc \(\overline{M}=\overline{R}\cup S\)

d'où p(\(\overline{M})=p(\overline{R} \cup S)=p(\overline{R})+p(S)-p(\overline{R} \cap S)\)

or \(\overline{R}\) et S sont deux événements indépendants donc

\(p(\overline{R} \cap S)=0\)

finalement p(\(\overline{M})=p(\overline{R})+p(S)\)