Exercice : Exemple 17 : Langue étudiée

Dans un lycée :

  • 55% des élèves sont des filles

  • 12,1% d'entre elles étudient l'allemand

  • 36,9% des élèves sont des garçons qui n’étudient pas l'allemand

On choisit au hasard un élève du lycée et on considère les événements :

F : L'élève est une fille,

A : L'élève étudie l'allemand.

Question

1.a. Les événements A et F sont-ils incompatibles ? Expliquer.

Solution

A

\(\overline{A}\)

Total

\(F\)

12,1%

42,9%

55%

\(\overline{F}=G\)

8,1%

36,9%

45%

Total

20,2%

79,8%

100%

Les événements A et F sont compatibles en effet il y a des filles qui étudient l'allemand. \(p(F \cap A)=0,121\)

Question

b. Déterminer p(F), p(A) et p(A∩ F).

Solution

\(p(F)=0,55\)

\(p(A)=0,202\)

\(p(A∩ F)=0,121\)

Question

c. Calculer p(A∪ F).

Solution

\(p(A \cup F)=p(A)+p(F)-p(A \cap F)\)

\(p(A \cup F)=0,202+0,55-0,121\)

\(p(A \cup F)=0,631\)

2. On étudie les événements \(\overline{A}\) et \(\overline{F}\).

Question

a. Décrire les événements \(\overline{A}\) et \(\overline{F}\)

Solution

\(\overline{A}\) : "L'élève n'étudie pas l'allemand"

\(\overline{F}\) : "L'élève n'est pas une fille " donc "L'élève est un garçon"

Question

b. Déterminer \(p(\overline{F})\), \(p(\overline{A})\).

Solution

\(p(\overline{F})=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}\)

\(p(\overline{A})=\frac{79,8}{100}=\frac{39,9}{50}\)

Question

c. Calculer \(p(\overline{F}∩\overline{A}).\)

Solution

\(p(\overline{A}∩\overline{F})=0,369\)

Les élèves qui sont des garçons et qui n'étudient pas l'allemand représentent 36,9% des élèves

3. Les garçons germanistes

Question

a. Calculer \(p(A∩\overline{F})\).

Solution

\(p(A∩\overline{F})=0,081\)

Question

b. Décrire l'événement \(A∩ \overline{F}\).

Solution

\(A∩ \overline{F}\) représente les élèves qui étudient l'allemand et qui sont des garçons.

Question

c. Estimer le pourcentage de garçons qui étudient l'allemand.

Solution

Le pourcentage de garçons qui étudient l'allemand. est donc de 8,1%