III Opérations sur les fonctions dérivées
Exemple : Exemple 1
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+x\).
Complément :
Pour :\(h\ne 0\)
\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)=\(\frac{a+h+(a+h)^2-a-a^2}{h}\)
=\(\frac{a+h+a^2+2ah+h^2-a-a^2}{h}\)
=\(\frac{h+2ah+h^2}{h}\)
=\(1+2a+h\)
donc
\(lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) =\(lim_{h \to 0} (1+2a+h)=1+2a\)
alors \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(f'(x)=1+2x\) .
Définition : Formules d'opération sur les fonctions dérivées :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. | Formule de dérivations |
|---|---|
\(u(x)+v(x)\) est dérivable sur I | \((u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)\) |
\(ku(x)\) est dérivable sur I, où k est une constante | \((ku(x))'=ku'(x)\) |
\(u(x) \times v(x)\) est dérivable sur I | \((u(x) \times v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) |
\(\frac{1}{u(x)}\) est dérivable sur I, où la fonction \(u\) ne s'annule pas sur I | (\(\frac{1}{u(x)}\))'=\(\frac{-u'(x)}{u(x)^2}\) |
\(\frac{u(x)}{v(x)}\) est dérivable sur I, où la fonction \(v\) ne s'annule pas sur I | (\(\frac{u(x)}{v(x)}\))'=\(\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\) |
\((u(x))^n\) | \(n(u(x))^{n-1} \times u'(x)\) |
Fondamental :
On laissera le dénominateur sous la forme \((u(x))^2 ou \)\((v(x))^2\) sans développer l'expression.
En effet, dans la suite du chapitre, on sera amené à étudier le signe de la fonction dérivée.
Ainsi, laisser le dénominateur sous la forme d’un carré nous donne directement le signe de celui-ci.
Complément : Démonstration Somme
Pour \(h \ne 0 :\)
\(\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\)
\(=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a+h)v(a)+u(a+h)v(a)-u(a)v(a)}{h}\)
\(=\frac{u(a+h)(v(a+h)-v(a))+(u(a+h)-u(a))v(a)}{h}\)
\(=u(a+h)\frac{(v(a+h)-v(a))}{h}+v(a)\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\)
\(lim_{h \to 0}\frac{uv(a+h)-uv(a)}{h}=lim_{h \to 0}[u(a+h)\frac{(v(a+h)-v(a))}{h}+v(a)\frac{u(a+h)-u(a)}{h}]\)
\((uv)'(a)=lim_{h \to 0}\frac{uv(a+h)-uv(a)}{h}=u(a)v'(a)+v(a)u'(a)\)
Complément : Démonstration Inverse
Pour \(h \ne 0 :\)
\(\frac{\frac{1}{u(a+h)}-\frac{1}{u(a)}}{h}\)
\(=\frac{\frac{u(a)}{u(a)u(a+h)}-\frac{u(a+h)}{u(a+h)u(a)}}{h}\)
\(=\frac{u(a)-u(a+h)}{(u(a+h)u(a))\times h}\)
\(lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{u(a+h)}-\frac{1}{u(a)}}{h}\)
\(=lim_{h \to 0}-\frac{u(a+h)-u(a)}{h} \times \frac{1}{u(a+h)u(a)}\)
\((\frac{1}{u})'(a)=-\frac{u'(a)}{u^2(a)}\)