Exercice : 3x^3+4x^2-6x+2

On appelle \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par\( f( x )=3x³+4x²-6x+2.\)

Question

1. Calculer \(f(2)\) et \(f(-1).\)

Solution

\(f( 2 )=3\times 2³+4 \times 2²-6\times 2+2.\)

\(\iff f( 2 )=3\times 8+4 \times 4-6\times 2+2.\)

\(\iff f( 2 )=24+16-12+2.\)

\(\iff f( 2 )=30\)

\(f(-1)=3\times (-1)³+4 \times (-1)²-6\times (-1)+2.\)

\(\iff f(-1)=3\times (-1)+4 \times 1+6+2.\)

\(\iff f(-1)=-3+4+6+2\)

\(\iff f(-1)=9\)

Question

2. Donner l'expression de la dérivée \(f'(x).\)

Indice

\(x^n\mapsto nx^{n-1}\)

\(x \mapsto 1\)

\(k\mapsto 0\)

\(ku\mapsto ku'\)

\(u+v\mapsto u'+v'\)

Solution

\(f'( x )=3\times 3x^2+4\times 2x-6\times 1+0\)

\(\iff f'( x )=9x^2+8x-6\)

Question

3. Donner les valeurs de \(f'(2)\) et \(f'(-1)\)

Solution

\(f'(2)=9\times 2^2+8\times 2-6\)

\(\iff f'(2)=9\times 4+16-6\)

\(\iff f'(2)=36+16-6\)

\(\iff f'(2)=46\)

\(f'(-1)=9\times (-1)^2+8\times (-1)-6\)

\(\iff f'(-1)=9\times 1-8-6\)

\(\iff f'(-1)=9-8-6=-5\)

Question

4. En déduire les équations des tangentes à la courbe de la fonction \(f\) en 2 et -1

Solution

  • Equation de la tangente au point d'abscisse \(x=2\):

    \(y=f'(2)(x-2)+f(2)\)

    \(\iff y=46(x-2)+30\)

    \(\iff y=46x-92+30\)

    \(\iff y=46x-62\)

L'équation de la tangente au point d'abscisse \(x=2\) est donc \(y=46x-62\)

  • Equation de la tangente à l'abscisse \(x=-1\):

    \(y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)\)

    \(\iff y=-5(x+1)+9\)

    \(\iff y=-5x-5+9\)

    \(\iff y=-5x+4\)

L'équation de la tangente au point d'abscisse \(x=-1\) est donc \(y=-5x+4\)