Exercice : 1/x-x^3

\(f\) est la fonction définie sur \(]0 ;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{1}{x}-x^3\)

Question

1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\)

Indice

\(x^n\mapsto nx^{n-1}\)

\(\frac{1}{x} \mapsto \frac{-1}{x^2}\)

\(u+v\mapsto u'+v'\)

Solution

\(f'(x)=\frac{-1}{x^2}-3x^2\)

Question

2.Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative

au point A d'abscisse 1 ?

Solution

\(f'(1)=\frac{-1}{1^2}-3\times 1^2\)

\(\iff f'(1)=-1-3=-4\)

L'équation de la tangente est donc \(y=-4x+b\)

Question

3.Quelle est l'ordonnée du point A ?

Solution

\(f(1)=\frac{1}{1}-1^3=1-1=0\)

L'ordonnée du point A d'abscisse 1 est 0.

Question

4.Déduire de la question précédente l'équation de la tangente

à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse 1.

Solution

L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)

au point d'abscisse 1 est de la forme

\(y=-4x+b\)

or le point \(A(1;0)\in T_A\)

\(\iff 0=-4 \times 1+b\)

\(\iff 0=-4+b\)

\(\iff -4+b=0\)

\(\iff b=4\)

L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)

au point d'abscisse 1 est donc \(y=-4x+4\)