Exercice : 3x²+1/x

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=3x^2+\frac{1}{x}\)

Question

1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\)

Indice

\(x^n\mapsto nx^{n-1}\)

\(ku \mapsto ku'\)

\(\frac{1}{x} \mapsto \frac{-1}{x^2}\)

\(u+v\mapsto u'+v'\)

Solution

\(f'(x)=3 \times 2x+\frac{-1}{x^2}=6x-\frac{1}{x^2}\)

Question

2.Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative

au point A d'abscisse 1 ?

Solution

\(f'(1)=6\times 1-\frac{1}{1^2}\)

\(\iff f'(1)=6-1=5\)

L'équation de la tangente est donc \(y=5x+b\)

Question

3.Quelle est l'ordonnée du point A ?

Solution

\(f(1)=3 \times 1^2+\frac{1}{1}=3+1=4\)

L'ordonnée du point A d'abscisse 1 est 4

Question

4.Déduire de la question précédente l'équation de la tangente

à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse 1.

Solution

L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)

au point d'abscisse 1 est de la forme

\(y=5x+b\)

or le point \(A(1;4)\in T_A\)

\(\iff 4=5 \times 1+b\)

\(\iff 4=5+b\)

\(\iff 5+b=4\)

\(\iff b=4-5=-1\)

L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)

au point d'abscisse 1 est donc \(y=5x-1\)