Exercice : (x^2-1)(5x-3)
\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2-1)(5x-3)\)
Question
1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\)
Indice
\(x\mapsto 1\)
\(uv \mapsto u'v+uv'\)
\(k \mapsto 0\)
\(x^n \mapsto nx^{n-1}\)
\(ku \mapsto ku'\)
\(u+v\mapsto u'+v'\)
Solution
\(\begin{cases}u=x^2-1\\v=5x-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}u'=2x\\v'=5\end{cases}\)
\(f'(x)=2x\times (5x-3)+(x^2-1)\times 5\)
\(f'(x)=10x^2-6x+5x^2-5\)
\(f'(x)=15x^2-6x-5\)
Question
2.Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative
au point A d'abscisse 1 ?
Solution
\(f'(1)=15\times 1^2-6\times 1-5\)
\(\iff f'(1)=15-6-5\)
\(\iff f'(1)=4\)
L'équation de la tangente est donc de la forme \(y=4x+b\)
Question
3.Quelle est l'ordonnée du point A ?
Solution
\(f(1)=(1^2-1)(5\times 1-3)=0\)
L'ordonnée du point A d'abscisse 1 est 0
Question
4.Déduire de la question précédente l'équation de la tangente
à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse 1.
Solution
L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)
au point d'abscisse 1 est de la forme
\(y=4x+b\)
or le point \(A(1;0)\in T_A\)
\(\iff 0=4 \times 1+b\)
\(\iff 0=4+b\)
\(\iff 4+b=0\)
\(\iff b=-4\)
L'équation de la tangente \(T_A\) à la courbe représentative de la fonction \(f\)
au point d'abscisse 1 est donc \(y=4x-4\)