Exercice : 1/x

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)\{0}

par \(f(x) = \frac{1}{x}\) et \(f′\) sa fonction dérivée.

La figure ci-dessous est la courbe représentative de la fonction \(f\) : \(C_f\)

Partie A

La droite T passe par le point A d'abscisse 2 de la courbe \(C_f\) et par le point d'ordonnée 1 de l'axe des ordonnées.

Question

1. Déterminer l'équation réduite de la droite T.

Solution

  • Calcul du coefficient directeur de la droite (AB):

    \(a=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\)

    \(\iff a=\frac{f(2)-1}{2-0}\)

    \(\iff a=\frac{\frac{1}{2}-1}{2}\)

    \(\iff a=-\frac{1}{4}\)

  • Calcul de l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) :

    \(y=ax+b\)

    B(0,1) \(\in\) (AB)

    \(\iff 1=a \times 0+b\)

    \(\iff 1=b\)

    \(\iff b=1\)

    L'équation de la droite T est donc \(y=-0,25x+1\)

Question

2. Calculer le quotient

\(\frac{f(2 + h) − f(2)}{h}\)

\(h\) désignant un nombre réel non nul appartenant à l'intervalle ] − 2; 2[.

En déduire \(f'(2)\)

Solution

\(\frac{f(2 + h) − f(2)}{h}\)

\(=\frac{\frac{1}{2 + h} − \frac{1}{2}}{h}\)

\(=\frac{\frac{2}{2(2 + h)} −\frac{2+h}{2(2+h)}}{h}\)

\(=\frac{\frac{-h}{2(2 + h)}{h}\)

\(f'(2)=\)\(\frac{\frac{-1}{2 \times 2}=\frac{-1}{4}\)

Partie B

.

Question

1.En utilisant le tableau des formules de dérivation, montrer que \(f′(2) = -0,25\)

Indice

\(\frac{1}{x} \mapsto \frac{-1}{x^2}\)

Solution

\(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\)

\(f'(2) = \frac{-1}{2^2}= \frac{-1}{4}=-0,25\)

Question

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\), \(C_f\) , en son point d'abscisse 2.

Solution

\(f'(2)=-0,25\)

\(f(2)=\frac{1}{2}=0,5\)

L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est :

\(y=f'(2)(x-2)+f(2)=-0,25(x-2)+0,5\)

\(\iff y=-0,25x+0,5+0,5\)

\(\iff y=-0,25x+1\)

La droite T est donc la tangente à la courbe \(C_f\) au point d'abscisse \(x=2\)