Exercice : Hot Wheels

Lors des X-games de Los Angeles, 2 pilotes au volant de « Hot Wheels » ont effectué 2 loopings sur un circuit géant.

Les pilotes de Rallye Tanner Foust et Greg Tracy du Team Hot Wheels ont marqué les X Games ce weekend. Au volant de deux répliques en taille réelle des voitures « Hot Wheels », ils ont effectué deux loopings de près de 20 mètres de haut. En plus de faire rêver les nostalgiques de ces célèbres jouets, ils ont par ailleurs, remporté un nouveau titre de record du monde en s'élançant sur cette rampe d'accélération pour franchir en simultané cette double boucle.

Question

1.Exprimer en fonction de π la distance parcourue à chaque tour.

Solution

\(P=2\pi \times R=2\pi \times 10=20\pi\)

Question

2.Donner une valeur approchée du résultat (en arrondissant au décimètre près)

Solution

\(P\simeq62,8\)

Question

3.Si on parcourt 32 mètres dans l'anneau, à partir du point O. on se trouve juste après l'un des points marqués sur le cercle. Lequel ?

Solution

\(20\pi \mapsto 360°\)

\(32 \mapsto \frac{360° \times 32}{20\pi}\simeq183,3°\)

On se trouvera juste après le point F.

Question

4.Si l'on parcourt 400 mètres dans les boucles. Combien de tours aura-t-on fait ?

Solution

\(\frac{400}{20\pi}\simeq6,4\)

Si l'on parcourt 400 mètres dans les boucles, on aura fait 6 tours

Question

5.Pour impressionner les autres membres de l'équipe, on décide de parcourir 1 kilomètre. Où va-t-on s'arrêter ? Est-ce possible ?

Solution

\(\frac{1000}{20\pi}\simeq15,9\)

Si l'on parcourt 1 kilomètre dans les boucles, on aura fait 15 tours

et parcouru environ \(0,9 \times 360=324°\)

soit 180+90+45+9

Le véhicule se trouve un peu plus loin que le point R donc le véhicule pourra s'arrêter à cette position.

Question

6.Si l'on se situe au point L : quelles distances a-t-on pu parcourir ?

Solution

\(360° \mapsto 20\pi\)

\(45° \mapsto \frac{20\pi \times 45}{360}=\frac{2\pi \times 45}{36}\)

\(\iff 45° \mapsto \frac{2\pi \times 5}{4}\)

\(\iff 45° \mapsto \frac{\pi \times 5}{2}\)

\(\iff 45° \mapsto 2,5\pi\)

Le point L correspond donc à une distance parcourue de \(2,5\pi+20k\pi\) \(k\in \mathbb{N}\)

(il ne faut pas oublier qu'on doit rajouter les multiples de la longueur d'un tour.