Exercice : Angle Vecteur 3

Dans le plan muni d'une base orthonormale \(\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\), on considère les vecteurs \(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v}=5\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\).

1. Représenter \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\)

Question

2. a. Calculer la valeur exacte de \(\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert ;\)

Solution

\(\|\vec{u}\|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)

Question

b. Calculer la valeur exacte de \(\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert ;\)

Solution

\(\|\vec{v}\|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\)

Question

c. Calculer la valeur exacte de \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}.\)

Solution

\(\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'=-2 \times 5 + 1 \times 2=-10+2=-8\)

Question

3. En déduire une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la mesure principale, en radians, de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).\)

Solution

\(\vec{u}.\vec{v}=\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times cos(\vec{u},\vec{v})=-8\)

\(\sqrt{5} \times \sqrt{29} \times cos(\vec{u},\vec{v})=-8\)

\(cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{-8}{\sqrt{5} \times \sqrt{29}}\)

\((\vec{u},\vec{v})=Arccos(\frac{-8}{\sqrt{5} \times \sqrt{29}})\)

\((\vec{u},\vec{v})=Arccos(\frac{-8}{\sqrt{5} \ times \sqrt{29}})\simeq131,6°\)