Exercice : Carré
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de côté 2. 𝐼 est le milieu de [𝐴𝐵] et 𝐽 le milieu de [𝐵𝐶].
Question
Les droites (𝐴𝐽) et (𝐷𝐼) sont-elles perpendiculaires ?
Solution
\(\vec{𝐴𝐽}=\vec{𝐴B}+ \vec{BJ}\)
\(\vec{𝐷𝐼}=\vec{D𝐴}+ \vec{AI}\)
\(\vec{𝐴𝐽}. \vec{𝐷𝐼}=(\vec{𝐴B}+ \vec{BJ})(\vec{D𝐴}+ \vec{AI})\)
\(\vec{𝐴𝐽}. \vec{𝐷𝐼}=\vec{𝐴B}.\vec{D𝐴}+\vec{𝐴B}. \vec{AI} + \vec{BJ}.\vec{D𝐴}+\vec{BJ}.\vec{𝐴I}\)
\(\vec{𝐴B}.\vec{D𝐴}=0\) car \(\vec{𝐴B}\) et \(\vec{D𝐴}\) sont orthogonaux.
\(\vec{𝐴B}. \vec{AI} =AB \times AI \times cos(0°)=2 \times 1=2\)
\(\vec{BJ}.\vec{D𝐴}=BJ \times DA \times cos(180¨)=1 \times 2 \ (-1)=-2\)
\(\vec{BJ}.\vec{𝐴I}=0\) car \(\vec{BJ}\) et \(\vec{𝐴I}\) sont orthogonaux
donc
\(\vec{𝐴𝐽}. \vec{𝐷𝐼}=2-2=0\)
Les droties (AJ) et (DI) sont donc orthogonaux.