Exercice : Basique 2
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
Question
1. Calculer \(\vec{AB}.\vec{AD}\)
Indice
\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}( ||\vec{u}+\vec{v}||^2- ||\vec{u} ||^2- ||\vec{v}||^2 )\)
Solution
\(\vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}( ||\vec{AB}+\vec{AD}||^2- ||\vec{AB} ||^2- ||\vec{AD}||^2 )\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}( ||\vec{AC}||^2- ||\vec{AB} ||^2- ||\vec{AD}||^2 )\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}(AC^2- AB^2-AD^2 )\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}(7^2- 4^2-5^2 )\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}(49-16-25)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2} \times 8=4\)
Question
2. Calculer en développant : \(( \vec{AB}-\vec{AD})^2\).
Solution
\((\vec{AB}-\vec{AD})^2=\vec{AB}^2-2\vec{AB} . \vec{AD} +\vec{AD}^2\)
\(\iff (\vec{AB}-\vec{AD})^2=AB^2-2\vec{AB} . \vec{AD} +AD^2\)
\(\iff (\vec{AB}-\vec{AD})^2=4^2-2 \times 4+5^2\)
\(\iff (\vec{AB}-\vec{AD})^2=16-8+25=33\)