Exercice : Basique 8

ABC est un triangle rectangle en A.

H est le pied de la hauteur issue de A;

I est le milieu de [BC] ;

P et Q sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC).

triangle.ggb [ggb, 16,9 ko]

Question

1.Que peut on conjecturer pour les droites (AI) et (PQ) ?

Solution

On peut conjecturer que les droites (AI) et (PQ) sont orthogonales.

Question

2. Montrer que \(\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}=\vec{AI}\)

Solution

\(\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{AB} +\vec{AC})\)

  • Traçons la parallèle à la droite (AC) passant par le point B.

  • Traçons la parallèle à la droite (AB) passant par le point C.

Soit D leur point d'intersection.

Le quadrilatère ABDC a ses côtés opposés parallèles

donc ABDC est un parallélogramme.

On a donc \(\vec{CD}=\vec{AB}\)

\(\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{CD} +\vec{AC})\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{CD} )\)

\(=\frac{1}{2}\vec{AD}\)

or un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux.

I est donc le milieu de [AD]

donc \(\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AD}\)

\(\iff \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\)

\(=\frac{1}{2}\vec{AD}\)

\(=\vec{AI}\)

Remarque :

Le quadrilatère ABDC a un angle droit en A

donc ABDC est un rectangle.

2. Justifier que :

Question

a. \(\vec{AB}.\vec{PQ} =\vec{AB}.\vec{AH}\)

Solution

\(\vec{AB}.\vec{PQ} =\vec{AB}.\vec{AQ}=\vec{AB}.\vec{AH}\)

Question

b. \(\vec{AC}.\vec{PQ} =\vec{AC}.\vec{HA}\)

Solution

\(\vec{AC}.\vec{PQ} =\vec{AC}.\vec{PA}=\vec{AC}.\vec{HA}\)

Question

3. En déduire que \(\vec{AI}.\vec{PQ} = 0\).

Solution

\(\vec{AI}.\vec{PQ} = (\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}).\vec{PQ}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{PQ} + \frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{PQ}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{AH} + \frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{HA}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{AH} - \frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{AH}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB}.\vec{AH} - \vec{AC}.\vec{AH})\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC}).\vec{AH}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CA}).\vec{AH}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2}( \vec{CA}+\vec{AB}).\vec{AH}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2} \vec{CB}.\vec{AH}\)

\(\iff \vec{AI}.\vec{PQ} = \frac{1}{2} \vec{CB}.\vec{AH}\)

or (CB) et (AH) sont orthogonales donc \(\vec{CB}.\vec{AH}=0\)

Finalement \(\vec{AI}\) et \(\vec{PQ}\) sont orthogonaux

et les droites (AI) et (PQ) sont donc perpendiculaires.