Exercice : Basique 4
Le plan étant muni d'un repère orthonormé, on considère les points
A( -2;-1 ) ,B( -6;2 ) et C( 0;4 ) .
Question
1.Faire une figure
Question
2.Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) puis le produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}\)
Solution
\(\vec{AB}=\begin{array}{c}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{array}\)
\(\iff \vec{AB}=\begin{array}[c]-6-(-2)\\2-(-1)\end{array}\)
\(\iff \vec{AB}=\begin{array}[c]-6+2\\2+1\end{array}\)
\(\iff \vec{AB}=\begin{array}[c]-4\\3\end{array}\)
\(\vec{AC}=\begin{array}[c]x_C-x_A\\y_C-y_A\end{array}\)
\(\iff \vec{AC}=\begin{array}[c]0-(-2)\\4-(-1)\end{array}\)
\(\iff \vec{AC}=\begin{array}[c]0+2\\4+1\end{array}\)
\(\iff \vec{AC}=\begin{array}[c]2\\5\end{array}\)
\(\vec{AB}.\vec{AC}=-4\times 2+ 3 \times 5=-8+15=7\)
On appelle (d) la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C.
Question
3.Donner un vecteur orthogonal à la droite (d).
Solution
Un vecteur orthogonal à la droite (d) est par exemple le vecteur \(\vec{AB}\)
Question
4.En déduire l'équation cartésienne de la droite (d).
Solution
Soit M un point de la droite (d) de coordonnées \((x,y)\)
alors
\(\vec{AB}.\vec{CM}=0\)
or \(\vec{AB}=\begin{array}[c]-4\\3\end{array}\)
\(\vec{CM}=\begin{array}[c]x-x_C\\y-y_C\end{array}\)
\(\iff \vec{CM}=\begin{array}[c]x-0\\y-4\end{array}\)
\(\iff \vec{CM}=\begin{array}[c]x\\y-4\end{array}\)
\(\vec{AB}.\vec{CM}=-4x+3(y-4)=0\)
L'équation de la droite (d) est donc \(-4x+3y-12=0\)
Question
5.Montrer que la longueur du segment [AB] est 5.
Solution
\(\vec{AB}=\begin{array}[c]-4\\3\end{array}\)
donc
\(AB=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)
Question
Déduire des questions 2. et 3. la longueur du segment [AH] , H désignant le point d'intersection des droites (d) et ( AB ) .
Solution
\(\vec{AB}.\vec{AC}=||\vec{AB}||\times ||\vec{AH}||=7\)
\(\iff AB \times AH=7\)
\(\iff 5AH=7\)
\(\iff AH=\frac{7}{5}=1,4\)
