Exercice : Basique 14

Soit O un point quelconque et \(\cal{C}\) le cercle de centre O et de rayon r.

A est un point de \(\cal{C}\) et d est une droite passant par A.

B est un point de cette droite et l'on défini le point A' tel que

\(\vec{AA'} = 3\vec{AB}\)

Question

1. Faire une figure.

Solution

Question

2. Construire en justifiant le cercle \(\cal{C}'\) image de \(\cal{C}\)

par l'homothétie h de centre B transformant A en A'.

(sans utiliser le rapport de l'homothétie).

Solution

1.Construire l'image O'du centre O par l'homothétie h  :

2. L'homothétie transforme le cercle \(\cal{C}\) en un cercle dont le centre est le point O'

(image du centre O par l'homothétie h)

et qui passe par l'ensemble des points images des points du cercle \(\cal{C}\)

donc comme A' est l'image du point A par l'homothétie h et que \(A\in \cal{C}\)

qui passe par A'

Question

3. Déterminer le rapport de l'homothétie h puis préciser le rayon du cercle \(\cal{C}'\).

Dans le cas où r = 5.

Solution

Le rapport de l'homothétie est -2

\(\vec{AA'} = 3\vec{AB}\)

\(\iff \vec{AB}+\vec{BA'} = 3\vec{AB}\)

\(\iff \vec{BA'} = 3\vec{AB}-\vec{AB}\)

\(\iff \vec{BA'} = 2\vec{AB}\)

\(\iff \vec{BA'} = -2\vec{BA}\)

donc le rapport de l'homothétie est -2

et le rayon du nouveau cercle est donc 10