Exercice : Basique 12
\(\cal{D}\) est la droite d'équation \(2x+y+3=0\) dans un repère orthonormé.
Question
1.a. Tracer cette droite.
Question
b. Prouver que le vecteur \(\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\) est normal à \(\cal{D}\).
Solution
Un vecteur directeur de la droite \(\cal{D}\) est \(\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right)\)
\(\vec{v}.\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\)
\(\iff \vec{v}.\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\)
\(\iff \vec{v}.\vec{u}=1 \times 2 +(-2) \times 1=2-2=0\)
donc les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\) sont orthogonaux,
on en déduit que
\(\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\) est normal à \(\cal{D}\).
Question
2. Réciproque : on considère la droite \(\Delta\) passant par A(2;-1) et de vecteur normal \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\). Déterminer une équation cartésienne de \(\Delta\) dans un repère orthonormé.
Solution
\(\vec{AM}.\vec{u}=0\)
\(=\vec{AM}.\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}x_M-x_A\\y_M-y_A\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}x_M-2\\y_M-(-1)\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}x_M-2\\y_M+1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
\(=3(x_M-2)+1(y_M+1)=0\)
\(=3x_M-6+y_M+1=0\)
\(\iff 3x+y-5=0\)
L'équation cartésienne de \(\Delta\) dans un repère orthonormé est \(3x+y-5=0.\)
Question
3. Plus généralement, montrer que dans un repère orthonormé \((O ;\vec{i} ;\vec{j})\),
une droite \(\Delta\) de vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)
admet une équation cartésienne du type \(ax+by+c=0.\)
Solution
Considérons que la droite passe par le point A :
\(\vec{AM}.\vec{u}=0\)
\(=\vec{AM}.\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}x_M-x_A\\y_M-y_A\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)
\(=a(x_M-x_A)+b(y_M-y_A)=0\)
\(\iff ax-ax_A+by-by_A=0\)
\(\iff ax+by-(ax_A+by_A)=0\)
En posant \(c=-(ax_A+by_A)\)
L'équation cartésienne de \(\Delta\) dans un repère orthonormé est \(ax+by+c=0.\)