Exercice : Basique 10
Le but de cet exercice est de démontrer, à l'aide du produit scalaire, que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Soit ABC un triangle.
On note A′, B′ et C′ les projetés orthogonaux respectifs
de A, B et C sur (BC),(AC) et (AB).
On note H = (BB′)∩(CC′).
Question
1. Que valent les produits scalaires suivants :
\(\vec{BH}.\vec{AC}\) et \(\vec{CH}.\vec{AB}\) ?
Solution
\(\vec{BH}.\vec{AC}=0\)
car (BH) est perpendiculaire à (AC)
\(\vec{CH}.\vec{AB}=0\)
car (CH) est perpendiculaire à (AB)
Question
2. Calculer \(\vec{AH}.\vec{BC}\).
Solution
\(\vec{AH}.\vec{BC}\)
\(=(\vec{AB}+\vec{BH}).(\vec{BA}+\vec{AC})\)
\(=\vec{AB}.\vec{BA}+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{BH}.\vec{BA}+\vec{BH}.\vec{AC}\)
\(=\vec{AB}.(-\vec{AB})+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{BH}.\vec{BA}\)
\(=-\vec{AB}^2+\vec{AB}.\vec{AC}+(\vec{BC}+\vec{CH}).\vec{BA}\)
\(=-AB^2+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{BC}.\vec{BA}+\vec{CH}.\vec{BA}\)
\(=-AB^2+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{BC}.(-\vec{AB})+\vec{CH}.(-\vec{AB})\)
\(=-AB^2+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.(-\vec{BC})-\vec{CH}.\vec{AB}\)
\(=-AB^2+\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{CB}\)
\(=-AB^2+\vec{AB}(\vec{AC}+\vec{CB})\)
\(=-AB^2+\vec{AB}.\vec{AB}\)
\(=-AB^2+AB^2=0\)
Question
3. Conclure.
Solution
\(\vec{AH}\) et \(\vec{BC}\) sont donc orthogonaux
et les droites (AH) et (BC) sont orthogonales,
on en déduit que H appartient à la hauteur issue du point A.
Finalement les trois hauteurs sont concourantes au point H.