Exercice : Basique 7
On suppose que le triangle ABC est tel que AB = 7, BC = 4 et CA = 5.
Calculer :
Question
a. le produit scalaire \(\vec{AB} ⋅\vec{AC}\)
Indice
\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)\)
Solution
\(\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(\|\vec{AB}\|^2+\|\vec{AC}\|^2-\|\vec{AB}-\vec{AC}\|^2)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-\|\vec{AB}+\vec{CA}\|^2)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-\|\vec{CB}\|^2)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-CB^2)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(7^2+5^2-4^2)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(49+25-16)\)
\(\iff \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(58)=29\)
Question
b. la valeur exacte du nombre réel \(cos(\widehat{BAC})\)
Solution
\(\vec{AB}.\vec{AC}=29\)
mais \(\vec{AB}.\vec{AC}=AB.AC.cos(\vec{AB},\vec{AC})\)
donc
\(AB.AC.cos(\vec{AB},\vec{AC})=29\)
\(\iff 7 \times 5 \times cos(\vec{AB},\vec{AC})=29\)
\(\iff 35 \times cos(\vec{AB},\vec{AC})=29\)
\(\iff (\vec{AB},\vec{AC})=Arccos(\frac{29}{35})\simeq34,05°\)
