Chapitre VII Trigonométrie

• \(\frac{\frac{19\pi}{3}}{2\pi}=\frac{\frac{19\pi}{3}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(\iff \frac{\frac{19\pi}{3}}{2\pi}=\frac{19\pi}{3} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(\iff \frac{\frac{19\pi}{3}}{2\pi}=\frac{19\pi}{6\pi}\)

\(\iff \frac{\frac{19\pi}{3}}{2\pi}=\frac{19}{6}=\frac{18}{6}+\frac{1}{6}\)

\(\iff \frac{\frac{19\pi}{3}}{2\pi}=3+\frac{1}{6}\)

donc \(\frac{19\pi}{3}\) représente 3 tours et \(\frac{1}{6}\) de tour.

\(\frac{19\pi}{3}\) et \(\frac{1}{6} \times 2\pi=\frac{2\pi}{6}\) représentent le même angle

donc \(\frac{19\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{3}\) représentent le même angle

or l'angle de \(\frac{\pi}{3}\) correspond à l'angle de \(\frac{180}{3}=60°\)

soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 2}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\)

  \(cos(x)=-\frac{1}{2} \iff x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{2\pi}{3}\)

or \(sin(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Finalement \(x=\frac{2\pi}{3}\) car \(sin(x)>0\)

soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 9}}\)

• \(\sqrt{21904}\pi=148\pi=74 \times 2\pi\)

  donc cette mesure correspond à l'angle nul

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 1}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\) :

  \(cos(x)=\frac{1}{2} \iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\)

Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\) :

\(sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \iff x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{\pi}{3}\)

Finalement : \(x=\frac{\pi}{3}\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 2}}\)

Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\) :

\(sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \iff x=-\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\)

\(cos(x)>0 \iff \in ]-\frac{\pi}{2} ;\frac{\pi}{2}[\)

Finalement : \(x=-\frac{\pi}{3}\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 4}}\)

• \(\frac{\frac{119\pi}{7}}{2\pi}=\frac{\frac{119\pi}{7}}{\frac{2\pi}{1}}\)

  \(\iff \frac{\frac{119\pi}{7}}{2\pi}=\frac{119\pi}{7} \times \frac{1}{2\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{119\pi}{7}}{2\pi}=\frac{119\pi}{14\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{119\pi}{7}}{2\pi}=\frac{119}{14}=8,5\)

  \(\frac{119\pi}{7}-8 \times 2\pi\)

  \(=\frac{119\pi}{7}-16\pi\)

  \(=\frac{119\pi}{7}-\frac{112\pi}{7}\)

  \(=\frac{7\pi}{7}=\pi\)

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 5}}\)

• \(\frac{\frac{-79\pi}{6}}{2\pi}=\frac{\frac{-79\pi}{6}}{\frac{2\pi}{1}}\)

  \(\iff \frac{\frac{-79\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-79\pi}{6} \times \frac{1}{2\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{-79\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-79\pi}{12\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{-79\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-79}{12}=\frac{-72}{12}+\frac{-7}{12}\)

  \(\iff \frac{\frac{-79\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-79}{12}=-6+\frac{-7}{12}\)

  \(\frac{-79\pi}{6}+6 \times 2\pi\)

  \(=\frac{-79\pi}{6}+12\pi\)

  \(=\frac{-79\pi}{6}+\frac{72\pi}{6}\)

  \(=\frac{-7\pi}{6}\)

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 4}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

les fonctions cosinus et sinus sont égales pour :

\(cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(cos(-\frac{3\pi}{4})=sin(-\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

or \(sin(x)>0\) donc la mesure de l'angle est \(\frac{\pi}{4}\)

soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 1}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

  \(cos(x)=0 \iff x=\frac{\pi}{2}\) ou \(x=-\frac{\pi}{2}\)

  • \(sin(-\frac{\pi}{2})=-1\) et \(|sin(-\frac{\pi}{2})|=|-1|=1\)

    donc \(|sin(-\frac{\pi}{2})|\ne sin(-\frac{\pi}{2})\)

  • \(sin(\frac{\pi}{2})=1\) et \(|sin(\frac{\pi}{2})|=|1|=1\)

    donc \(|sin(\frac{\pi}{2})|= sin(\frac{\pi}{2})\)

Finalement : \(x=\frac{\pi}{2}\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 3}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

\(cos(x)<0 \iff x \in ]-\pi ;\frac{-\pi}{2}[ \cup ]\frac{\pi}{2} ;\pi[\)

\(x \times sin(x)=0\)

D'après le théorème du produit nul :

\(\color{red}{\text{Un produit de facteurs est nul}}\)

\(\color{red}{\text{si et seulement si }}\)

\(\color{red}{\text{un des facteurs au moins est nul.}}\)

\(x=0\) ou \(sin(x)=0\)

Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

\(x=0\) ou \(x=0\) ou \(x=\pi\)

Finalement : \(x=\pi\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 5}}\)

• Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

  \(cos(x)<0 \iff x \in ]-\pi ;\frac{-\pi}{2}[ \cup ]\frac{\pi}{2} ;\pi[\)

  \(cos(x) \times sin(x)=0\)

  D'après le théorème du produit nul :

  \(\color{red}{\text{Un produit de facteurs est nul}}\)

  \(\color{red}{\text{si et seulement si }}\)

  \(\color{red}{\text{un des facteurs au moins est nul.}}\)

  \(cos(x)=0\) ou \(sin(x)=0\)

  or \(cos(x)<0\) donc \(sin(x)=0\)

  Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\),

  \(x=0\) ou \(x=\pi\)

  Finalement : \(x=\pi\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 7}}\)

• \(5\pi + \frac{21\pi}{2}=5\pi + 10,5\pi=15,5\pi=16\pi - 0,5\pi\)

  Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\)

  \(5\pi + \frac{21\pi}{2}\) correspond donc à l'angle \(- 0,5\pi=\frac{-\pi}{2}\)

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 8}}\)

• \(\pi\) soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 5}}\)

• \(\frac{\frac{-89\pi}{6}}{2\pi}=\frac{\frac{-89\pi}{6}}{\frac{2\pi}{1}}\)

  \(\iff \frac{\frac{-89\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-89\pi}{6} \times \frac{1}{2\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{-89\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-89\pi}{12\pi}\)

  \(\iff \frac{\frac{-89\pi}{6}}{2\pi}=\frac{-89}{12}=\frac{-84}{12}+\frac{-5}{12}\)

  \(\iff \frac{\frac{-89\pi}{6}}{2\pi}=-7+\frac{-5}{12}\)

  \(\frac{-89\pi}{6}+7 \times 2\pi\)

  \(=\frac{-89\pi}{6}+14\pi\)

  \(=\frac{-89\pi}{6}+\frac{84\pi}{6}\)

  \(=\frac{-5\pi}{6}\)

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 6}}\)

Dans l'intervalle des mesures principales \(]-\pi ;\pi]\) :

• \(cos(x)>0 \iff \in ]-\frac{\pi}{2} ;\frac{\pi}{2}[\)

• \(sin(\frac{3\pi}{4})=-cos(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

  \(sin(\frac{-\pi}{4})=-cos(\frac{-\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

  Finalement l'angle est \(\frac{-\pi}{4}\)

  soit l'\(\color{magenta}{\text{angle 9}}\)

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