Exercice : Exercice en devoir Maison

On considère la fonction g définie sur l'ensemble des nombres réels par :

\(g (x) = 4 −\frac{10}{x^2 + 2}\)

Question

1.Montrer que la dérivée de la fonction \(g\) est :

\(g′(x)=\frac{20x}{(x^2+2)^2}\)

Indice

\((\frac{1}{u})'=\frac{-u'}{u^2}\)

\(k'=0\)

Solution

\(g'(x) = -10 \times \frac{-2x }{(x^2 + 2)^2}\)

\(\iff g'(x) = \frac{20x }{(x^2 + 2)^2}\)

2.Déterminer les équations puis tracer les tangentes à la courbe représentative de la fonction g aux points d'abscisses :

Question

a. \(x_1=−2\)

Solution

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(a\) est :

\(y=g'(a)(x-a)+g(a)\)

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(-2\) est :

\(y=g'(-2)(x-(-2))+g(-2)\)

  • Calcul de \(g'(-2)\):

\(g'(-2) = \frac{20 \times (-2)}{((-2)^2 + 2)^2}\)

\(\iff g'(-2) = \frac{-40}{(4+ 2)^2}\)

\(\iff g'(-2) = \frac{-40}{6^2}\)

\(\iff g'(-2) = \frac{-40}{36}= \frac{-10}{9}\)

  • Calcul de \(g(-2)\):

    \(g(-2)= 4 −\frac{10}{(-2)^2 + 2}\)

    \(\iff g(-2)= 4 −\frac{10}{4 + 2}\)

    \(\iff g(-2)= 4 −\frac{10}{6}\)

    \(\iff g(-2)= 4 −\frac{5}{3}\)

    \(\iff g(-2)= \frac{12}{3} −\frac{5}{3}\)

    \(\iff g(-2)= \frac{7}{3}\)

  • \(y=g'(-2)(x-(-2))+g(-2)= \frac{-10}{9}(x+2)+\frac{7}{3}\)

    \(\iff y= \frac{-10}{9}x+\frac{-20}{9}+\frac{7}{3}\)

    \(\iff y= \frac{-10}{9}x+\frac{-20}{9}+\frac{21}{9}\)

    \(\iff y= \frac{-10}{9}x+\frac{1}{9}\)

    L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(-2\) est donc

    \(y= \frac{-10}{9}x+\frac{1}{9}\)

Question

b. \(x_2=0\)

Solution

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(a\) est :

\(y=g'(a)(x-a)+g(a)\)

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(0\) est :

\(y=g'(0)(x-0)+g(0)\)

  • Calcul de \(g'(0)\):

\(g'(0) = \frac{20 \times 0}{(0^2 + 2)^2}\)

\(\iff g'(0) = \frac{0}{2^2}\)

\(\iff g'(0) = 0\)

  • Calcul de \(g(0)\):

    \(g(0)= 4 −\frac{10}{0^2 + 2}\)

    \(\iff g(0)= 4 −\frac{10}{ 2}\)

    \(\iff g(0)= 4 −5\)

    \(\iff g(0)= -1\)

  • \(y=g'(0)(x-0)+g(0)=0x+(-1)=-1\)

    L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(0\) est donc

    \(y= -1\)

Question

c. \(x_3=4\)

Solution

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(a\) est :

\(y=g'(a)(x-a)+g(a)\)

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(4\) est :

\(y=g'(4)(x-4)+g(4)\)

  • Calcul de \(g'(4)\):

\(g'(4) = \frac{20 \times 4}{(4^2 + 2)^2}\)

\(\iff g'(4) = \frac{80}{(16+2)^2}\)

\(\iff g'(4) = \frac{80}{18^2}\)

\(\iff g'(4) = \frac{80}{324}=\frac{20}{81}\)

  • Calcul de \(g(4)\):

    \(g(4)= 4 −\frac{10}{4^2 + 2}\)

    \(\iff g(4)= 4 −\frac{10}{ 16+2}\)

    \(\iff g(4)= 4 −\frac{10}{ 18}\)

    \(\iff g(4)= 4-\frac{5}{9}\)

    \(\iff g(4)= \frac{36}{9}-\frac{5}{9}\)

    \(\iff g(4)= \frac{31}{9}\)

  • \(y=g'(4)(x-4)+g(4)=\frac{20}{81}(x-4)+\frac{31}{9}\)

    \(\iff y=\frac{20}{81}(x-4)+\frac{31}{9}\)

    \(\iff y=\frac{20}{81}x-\frac{80}{81}+\frac{279}{81}\)

    \(\iff y=\frac{20}{81}x+\frac{199}{81}\)

    L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(4\) est donc

    \(y= \frac{20}{81}x+\frac{199}{81}\)

Question

2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(g\) au point d'abscisse \(x_4=2\).Tracer cette tangente.

Solution

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(a\) est :

\(y=g'(a)(x-a)+g(a)\)

  • L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(2\) est :

\(y=g'(2)(x-2)+g(2)\)

  • Calcul de \(g'(2)\):

\(g'(2) = \frac{20 \times 2}{(2^2 + 2)^2}\)

\(\iff g'(2) = \frac{40}{(4+ 2)^2}\)

\(\iff g'(2) = \frac{40}{6^2}\)

\(\iff g'(-2) = \frac{40}{36}= \frac{10}{9}\)

  • Calcul de \(g(2)\):

    \(g(2)= 4 −\frac{10}{2^2 + 2}\)

    \(\iff g(2)= 4 −\frac{10}{4 + 2}\)

    \(\iff g(2)= 4 −\frac{10}{6}\)

    \(\iff g(2)= 4 −\frac{5}{3}\)

    \(\iff g(2)= \frac{12}{3} −\frac{5}{3}\)

    \(\iff g(2)= \frac{7}{3}\)

  • \(y=g'(2)(x-2)+g(2)= \frac{10}{9}(x-2)+\frac{7}{3}\)

    \(\iff y= \frac{10}{9}x-\frac{20}{9}+\frac{7}{3}\)

    \(\iff y= \frac{10}{9}x+\frac{-20}{9}+\frac{21}{9}\)

    \(\iff y= \frac{10}{9}x+\frac{1}{9}\)

    L'équation de la tangente à la fonction \(g\) au point d'abscisse \(2\) est donc

    \(y= \frac{10}{9}x+\frac{1}{9}\)