Exercice : Tangente 4

Soit \(C_p\) sa courbe représentant la fonction p définie sur \(\mathbb{R}\) par \(p(x)=x^3+4x^2\)

Question

Existe t il des points de \(C_p\) où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses ?Si oui, lesquels ?

Solution

\(p'(x)=3x^2+4 \times 2x\)

\(\iff p'(x)=3x^2+8x\)

La tangente est parallèle à l'axe des abscisses

si et seulement si \(p'(x)=0\)

\(\iff 3x^2+8x=0\)

\(\iff x(3x+8)=0\)

\(\iff x=0 ou 3x+8=0\)

En effet :

\(\color{red}{\text{Un produit de plusieurs facteurs est nul }}\)

\(\color{red}{\text{si et seulement si un des facteurs au moins est nul.}}\)

\(\iff x=0 ou x=\frac{-8}{3}\)

\(p(0)=0^3+4\times 0^2=0\)

\(p(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})^3+4\times (\frac{-8}{3})^2\)

\(\iff p(\frac{-8}{3})=\frac{-512}{27}+4\times \frac{64}{9}\)

\(\iff p(\frac{-8}{3})=\frac{-512}{27}+\frac{256}{9}\)

\(\iff p(\frac{-8}{3})=\frac{-512}{27}+\frac{768}{27}\)

\(\iff p(\frac{-8}{3})=\frac{-512}{27}+\frac{768}{27}\)

\(\iff p(\frac{-8}{3})=\frac{256}{27}\)