Chapitre VII Trigonométrie

60° représente \(\frac{\pi}{3}\) radians

150°  représente \(\frac{5\pi}{6}\) radians

10° représente \(\frac{\pi}{18}\) radians

12° représente \(\frac{\pi}{15}\) radians

198° représente \(\frac{11\pi}{10}\) radians

15° représente \(\frac{\pi}{12}\) radians

-\(\pi\),\(\pi\),\(2\pi\),\(-2\pi\)

\(\frac{3\pi}{2}\),\(\frac{7\pi}{2},\frac{11\pi}{2}\),\(\frac{15\pi}{2}\)

10\(\pi\),\(12\pi\),\(14\pi\),\(-2\pi\)

\(-\frac{\pi}{4}\),\(-\frac{5\pi}{4}\),\(-\frac{-9\pi}{4}\),\(\frac{3\pi}{4}\)

\(\frac{17\pi}{12}=\frac{24\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}\)=\(2\pi-\frac{7\pi}{12}\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(-\frac{7\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{17\pi}{12} \text{ n'est donc pas associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(\frac{-49\pi}{12}= \frac{-48\pi}{12}+\frac{-\pi}{12}=-4\pi+\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{-49\pi}{12} \text{ est donc associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(\frac{11\pi}{12}\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(\frac{11\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{11\pi}{12} \text{ n'est donc pas associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(\frac{-241\pi}{12}= \frac{-240\pi}{12}+\frac{-\pi}{12}=-20\pi+\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{-241\pi}{12} \text{ est donc associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(\frac{-37\pi}{12}= \frac{-48\pi}{12}+\frac{11\pi}{12}=-4\pi+\frac{11\pi}{12}\)\(\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(\frac{11\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{-37\pi}{12} \text{ n'est donc pas associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(\frac{-313\pi}{12}= \frac{-312\pi}{12}+\frac{-\pi}{12}=-26\pi+\frac{-\pi}{12}\)

Mesure principale : \(\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{magenta}{Mesure principale : }\) \(\frac{-\pi}{12}\)

\(\color{red}{\frac{-313\pi}{12} \text{ est donc associé au même point que } \frac{-\pi}{12} \text{ sur le cercle trigonométrique. }}\)

\(cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2 }\)

\(\begin{cases}cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}cos(\frac{9\pi}{6})=cos(\frac{3\pi}{2})=0\\sin(\frac{9\pi}{6})=sin(\frac{3\pi}{2})=-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}cos(\frac{-\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin(\frac{-\pi}{6})=\frac{-1}{2}\end{cases}\)

\(cosx=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi k\in \mathbb{Z}\\x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi k\in \mathbb{Z}\end{cases}\)

2.\(sin⁡x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}\)

\(sin⁡(3x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\iff 3x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(3x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\) ou \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour k=0

\(x=\frac{\pi}{12}\) ou \(x=\frac{\pi}{4}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour k=1

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}\) ou \(x=\frac{3\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{9\pi}{12}\)ou \(x=\frac{11\pi}{12}\)\(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour k=2

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{3} ou x=\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3} k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}\) ou \(x=\frac{3\pi}{12}+\frac{16\pi}{12}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{17\pi}{12}\)ou \(x=\frac{19\pi}{12}\)\(k \in \mathbb{Z}\)

Ces solutions ne sont pas dans \([-\pi ,\pi[\)

• Pour k=-1

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{-2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{-2\pi}{3}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{-8\pi}{12}\) ou \(x=\frac{3\pi}{12}+\frac{-8\pi}{12}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{-7\pi}{12}\)ou \(x=\frac{-5\pi}{12}\)\(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour k=2

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{-4\pi}{3}\) ou \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{-4\pi}{3}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{-16\pi}{12}\) ou \(x=\frac{3\pi}{12}+\frac{-16\pi}{12}\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(x=\frac{-15\pi}{12}\)ou \(x=\frac{-13\pi}{12}\)\(k \in \mathbb{Z}\)

S={\(\frac{-7\pi}{12}\) , \(\frac{-5\pi}{12}\) ,\(\frac{\pi}{12}\),\(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{9\pi}{12}\), \(\frac{11\pi}{12}\)}

\(sin x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(cos^2x+sin^2x=1\)

\(\iff cos^2 x=1-(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4})^2=(\frac{\sqrt{2}^2-2\sqrt{2}\times\sqrt{6}+\sqrt{6}^2}{4^2})\)

\(\iff cos^2 x=1-(\frac{2-2\sqrt{12}+6}{16})\)

\(\iff cos^2 x=\frac{16}{16}-(\frac{2-2\sqrt{12}+6}{16})\)

\(\iff cos^2 x=\frac{16}{16}-(\frac{8-2\sqrt{12}}{16})\)

\(\iff cos^2 x=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}\)

\(\iff cos^2 x=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2}{16}\)

\(\iff cos x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) ou \(cos x=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

or \(x\)\(\in\)[\(\frac{-\pi}{2}\);\(\frac{\pi}{2}\) donc \(cos x\ge 0\) donc \(cos x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

\(\frac{5\pi}{2} =\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\) donc \(cos\frac{5\pi}{2} =0\) donc cet angle est impossible

Comme le sinus est négatif \(\frac{\pi}{12} \) est impossible

Comme \(|cos x|>|sin x[\) \(x=\)\(\frac{-\pi}{12}\)

\(cos^2⁡x+sin^2⁡x=1\)

\(cos^2⁡x+(\sqrt{3}cosx)^2=1\)

\(\iff 4cos^2x=1\)

\(\iff cos^2x=\frac{1}{4}\)

\(cosx=\frac{1}{2}\) ou \(cosx=-\frac{1}{2}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{4\pi}{3}\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\)

\(\sqrt{3} cos⁡ x=sin⁡x\) donc \(\frac{sin x}{cos x}=\sqrt{3}\ge0\) donc \(cos x\) et \(sin x\) doivent avoir les mêmes signes d'après la règle des signes.

Les solutions qui donnent un sinus et un cosinus de même signe sont donc

\(x=\frac{\pi}{3}\) \(x=\frac{4\pi}{3}\)

Dans le triangle OPI rectangle en P

\(tan(\widehat{IOP})=\frac{IP}{OP}\)

\(\iff tan(\widehat{IOP})=\frac{46,5}{100}\)

\(\iff IOP=Arctan(0,465)\simeq25\)

Dans le triangle OPS rectangle en P

\(tan(\widehat{SOP})=\frac{SP}{OP}\)

\(\iff tan(43)=\frac{SP}{100}\)

\(\iff SP=100\tan(43)\simeq93\)

La hauteur de la statue est donc de 93-46,5=46,5 mètres