Exercice : Radians

On considère un losange ABCD tel que la mesure principale de l'angle orienté

\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\) soit \(\dfrac{\pi}{6}.\)

Question

1. Faire une figure.

Solution

Question

2. Démontrer que la somme

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\)

équivaut à \(\pi,\) en temps que mesure d'angle orienté.

Solution

La somme des angles d'un triangle vaut \(\pi\)

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}\right)=\pi\)

Le triangle ADB est isocèle en A donc :

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)=\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}\right)\)

\(\iff 2\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\pi\)

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=2\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\)

donc \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\pi\)

Question

3. En déduire la mesure principale de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)\)

puis celle de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right).\)

Solution

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\pi\)

donc

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\pi-\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\)

\(\iff \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}\)

\(iff \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\)

\(iff \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\frac{5\pi}{6}\)

\(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{5\pi}{6}= \frac{5\pi}{12}\)

Question

4. On note a la longueur commune aux côtés du losange ABCD.

Exprimer en fonction de a les longueurs respectives des diagonales AC et BD du losange ABCD.

Solution

\(\cos(\frac{\frac{\pi}{6}}{2})=\frac{AE}{AD}\)

\(\iff \cos(\frac{\pi}{12})=\frac{AE}{a}\)

\(\iff AE=a\cos(\frac{\pi}{12})\)

\(\iff AC=2a\cos(\frac{\pi}{12})\)

\(\sin(\frac{\frac{\pi}{6}}{2})=\frac{DE}{AD}\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{12})=\frac{DE}{a}\)

\(\iff DE=a\sin(\frac{\pi}{12})\)

\(\iff BD=2a\sin(\frac{\pi}{12})\)