Exercice : Tangente

On appelle tangente d'un angle \(\alpha\) le réel défini par \(tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{cos\alpha}\).

\(tan\alpha\) n'est définie que si \(cos\alpha\neq 0\)

Question

1.Quelles sont les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles la fonction tan n'est pas définie ?

Solution

\(cos\alpha=0\)

\(\iff \begin{cases}\alpha=-\pi+2k\pi\\\alpha=\pi+2k\pi \end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

Question

2. Calculer \(tan 0\).

Solution

\(tan 0=\frac{sin 0}{cos 0}=\frac{0}{1}=0\)

Question

3. Calculer \(tan\frac{\pi}{4}\).

Solution

\(tan\frac{\pi}{4}=\frac{sin \frac{\pi}{4}}{cos \frac{\pi}{4}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{4}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{4}=1\)

Question

4. Calculer \(tan\frac{\pi}{6}\).

Solution

\(tan\frac{\pi}{6}=\frac{sin \frac{\pi}{6}}{cos \frac{\pi}{6}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}^2}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Question

5. Calculer \(tan\frac{\pi}{3}\).

Solution

\(tan\frac{\pi}{3}=\frac{sin \frac{\pi}{3}}{cos \frac{\pi}{3}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \times \frac{2}{1}\)

\(\iff tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)

Question

6. Prouver que tan est \(\pi\)-périodique

Solution

\(tan(\pi+\alpha)=\frac{sin (\pi+\alpha)}{cos (\pi+\alpha)}\)

\(\iff tan(\pi+\alpha)=\frac{-sin (\alpha)}{-cos (\alpha)}\)

\(\iff tan(\pi+\alpha)=\frac{sin (\alpha)}{cos (\alpha)}=tan(\alpha)\)

Question

7. Quelle est sa parité de la fonction tangente ?

Solution

\(tan(-\alpha)=\frac{sin (-\alpha)}{cos (-\alpha)}\)

\(\iff tan(-\alpha)=\frac{-sin (\alpha)}{cos (\alpha)}\)

\(\iff tan(-\alpha)=-\frac{sin (\alpha)}{cos (\alpha)}\)

\(\iff tan(-\alpha)=-tan(\alpha)\)

Question

8. Justifier qu'on peut se limiter à une étude de cette fonction sur\( I =[ 0 ; \frac{\pi}{2}[\).

Solution

Comme la fonction tangente est \(\pi\)-périodique, on peut se limiter \([ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\)

Il suffira de déplacer la courbe par translation de vecteur \(\pi \vec{i}\).

Comme la fonction tangente est impaire, on peut se limiter à \([ 0; \frac{\pi}{2}[\)

Il suffira de déplacer la courbe par symétrie centrale de centre l'origine du repère

Question

9. Tracer sa courbe représentative sur I, puis sur son ensemble de définition.

Solution