Exercice : Variations 3

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^{2}+7}.\)

Question

1. Soient a et b deux réels quelconques, trouver une écriture de \(f(b)-f(a)\) sous forme de fraction dans laquelle il n'y a pas de radical (symbole \(\sqrt{}\)) au numérateur.

Solution

\(f(b)-f(a)=\sqrt{b^{2}+7}-\sqrt{a^{2}+7}\)

\(\iff f(b)-f(a)=\frac{(\sqrt{b^{2}+7}-\sqrt{a^{2}+7})(\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7})}{\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7}}\)

\(\iff f(b)-f(a)=\frac{(b^{2}+7)-(a^{2}+7)}{\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7}}\)

\(\iff f(b)-f(a)=\frac{b^{2}+7-a^{2}-7}{\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7}}\)

\(\iff f(b)-f(a)=\frac{b^{2}-a^{2}}{\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7}}\)

Question

2. En déduire que f est croissante sur \([0;+\infty[\)

Solution

Si \(0<a<b\) alors \(0<a^2<b^2 \iff -a^2<0<b^2-a^2\)

donc \(\frac{b^{2}-a^{2}}{\sqrt{b^{2}+7}+\sqrt{a^{2}+7}}>0\)

donc Si \(0<a<b\) alors \(f(b)-f(a)>0\iff f(b)>f(a)\)

\(f\) est donc une fonction croissante sur \([0;+\infty[\)