Exercice : Variations 6
On appelle \(f\) la fonction définie sur \([-2;+\infty[\) par\( f(x)=\sqrt{x+2}\).
Question
1. Soit \(a\) un réel de l'intervalle \(]-2; +\infty[\), étudier \(\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h+2}-\sqrt{a+2}}{h}\).
Solution
\(\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h+2}-\sqrt{a+2}}{h}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{(\sqrt{a+h+2}-\sqrt{a+2})(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}{h(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h+2}^2-\sqrt{a+2}^2}{h(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{(a+h+2)-(a+2)}{h(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{a+h+2-a-2}{h(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{h}{h(\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{1}{\sqrt{a+h+2}+\sqrt{a+2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a+2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{a+2}}\)
Question
2. En déduire que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]4; +\infty[\) et préciser alors sa fonction dérivée.
Solution
\(f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a+2}}\)
est définie sur \(\mathbb{R}\) sauf si \(a=-2\)
