Exercice : Variations 5
On appelle \(f\) la fonction définie sur \([4; +\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x-4}.\)\(\)
Question
1. Soit \(a\) un réel de l'intervalle \(]4; +\infty[\), étudier \(\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h-4}-\sqrt{a-4}}{h}\).
Solution
\(\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h-4}-\sqrt{a-4}}{h}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{(\sqrt{a+h-4}-\sqrt{a-4})(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}{h(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{\sqrt{a+h-4}^2-\sqrt{a-4}^2}{h(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{(a+h-4)-(a-4)}{h(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{a+h-4-a+4}{h(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{h}{h(\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4})}\)
\(=\lim_{h\longrightarrow0}\frac{1}{\sqrt{a+h-4}+\sqrt{a-4}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a-4}+\sqrt{a-4}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{a-4}}\)
Question
2. En déduire que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]4; +\infty[\) et préciser alors sa fonction dérivée.
Solution
\(f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a-4}}\)
est définie sur \(\mathbb{R}\) sauf si \(a=4\)
