Chapitre VII Trigonométrie

\(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\)

\(\cos^2(\frac{2\pi}{5})+\sin^2(\frac{2\pi}{5})=1\)

\(\iff \left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{\sqrt{5}^2-2\times \sqrt{5} \times 1+ 1^2}{16} \right )+\sin^2(\frac{2\pi}{5})=1\)

\(\iff \left (\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16} \right )+\sin^2(\frac{2\pi}{5})=1\)

\(\iff \left (\frac{6-2\sqrt{5}}{16} \right )+\sin^2(\frac{2\pi}{5})=1\)

\(\iff \sin^2(\frac{2\pi}{5})=1-\left (\frac{6-2\sqrt{5}}{16} \right )\)

\(\iff \sin^2(\frac{2\pi}{5})=\frac{16}{16}-\left (\frac{6-2\sqrt{5}}{16} \right )\)

\(\iff \sin^2(\frac{2\pi}{5})=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\)

\(\iff \sin(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\) ou \(\sin(\frac{2\pi}{5})=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\)

or \(\frac{2\pi}{5}=\frac{4\pi}{10} \in [0 ;\frac{\pi}{2}]=[0 ;\frac{5\pi}{10}]\)

donc \(\sin(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\)

\(sin (\pi-x)=sin(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)

donc

\(sin (\pi-\frac{2\pi}{5})= sin \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff sin (\frac{5\pi}{5}-\frac{2\pi}{5})= sin \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff sin (\frac{3\pi}{5})= sin \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff sin (\frac{3\pi}{5})= \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\)

\(cos (\pi-x)=-cos(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)

donc

\(\cos (\pi-\frac{2\pi}{5})= -\cos \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff \cos (\frac{5\pi}{5}-\frac{2\pi}{5})= -\cos \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff \cos (\frac{3\pi}{5})= -\cos \frac{2\pi}{5}\)

\(\iff \cos (\frac{3\pi}{5})= -\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\)

donc \(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{5})=\cos(\frac{2\pi}{5})\)

\(\iff \sin(\frac{5\pi}{10}-\frac{4\pi}{10})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{10})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour \(k=0\)

\(x=\frac{\pi}{6} \in [-\pi ;3\pi]\) ou \(x=\frac{-\pi}{6}\in [-\pi ;3\pi]\)

• Pour \(k=1\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}\in [-\pi ;3\pi]\) ou

\(x=\frac{-\pi}{6}+2\pi=\frac{-\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\in [-\pi ;3\pi]\)

• Pour \(k=2\)

\(x=\frac{\pi}{6}+4\pi=\frac{\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{25\pi}{6}\notin [-\pi ;3\pi]=[-\frac{6\pi}{6} ;\frac{18\pi}{6}]\)

ou

\(x=\frac{-\pi}{6}+4\pi=\frac{-\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{23\pi}{6} \notin [-\pi ;3\pi]=[-\frac{6\pi}{6} ;\frac{18\pi}{6}]\)

Ces deux valeurs n'appartiennent pas à \([-\pi ;3\pi]\) et sont trop grandes.

Inutile de prendre des valeurs de \(k\) supérieures.

• Pour \(k=-1\)

\(x=\frac{\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6} \notin [-\pi ;3\pi]\)

ou

\(x=\frac{\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{-11\pi}{6}\notin [-\pi ;3\pi]\)

Ces valeurs sont trop petites. Inutile de prendre des valeurs de \(k\) plus petites.

• Les solutions dans \([-\pi ;3\pi]\) sont donc

\(S=\{\frac{-\pi}{6} ;\frac{\pi}{6} ;\frac{11\pi}{6} ;\frac{12\pi}{6}\}  \)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 1 :}}\) "Si \(x\in]0 ;\pi[\), alors \(\sin(x)>0\) est vraie

  Pour les angles dont la mesure est représentée par un point de l'arc de cercle en vert, le sinus est strictement positif.

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 2 :}}\) "Si \(x\) est un réel strictement positif, alors \(\sin(x)>0\) est fausse.

Contre-exemple :

\(sin(\frac{5\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

car \(\frac{5\pi}{4}>0\) et \(sin(\frac{5\pi}{4})<0\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 3 :}}\) "Si \(x\in]0 ;\pi[\) alors \(\cos x>0\) est fausse.

  Contre-exemple :

  \(\cos(\frac{3\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

  \(\frac{3\pi}{4} \in ]0 ;\pi[\) et \(\cos(\frac{3\pi}{4}<0\)

• la \(\color{magenta}{\text{Réciproque de la Propriété 1 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\), alors \(x\in]0 ;\pi[\) est fausse.

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 1 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\) alors \(x\in]0+2k\pi ;\pi+2k\pi[\) \(k\in \mathbb{Z}\)

• la \(\color{magenta}{\text{Réciproque de la Propriété 2 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\), alors \(x\) est un réel strictement positif est fausse.

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 2 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\) alors \(x\in]0+2k\pi ;\pi+2k\pi[\) \(k\in \mathbb{Z}\)

• la \(\color{magenta}{\text{Réciproque de la Propriété 3 :}}\) "Si \(\cos x>0\) alors \(x\in]0 ;\pi[\)

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 3 :}}\) "Si \(\cos(x)>0 \)alors \(x\in ]-\frac{\pi}{2}+2k\pi ;\frac{\pi}{2}+2k\pi[\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(A=cos(\frac{\pi}{6})+cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff A=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\)

\(\iff A=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

\(B=sin(\frac{\pi}{6})+sin(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff B=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

On a la relation :

\(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\)

donc

• \(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{3\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

• \(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff \sin(\frac{3\pi}{6}-\frac{2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(C=cos 0 + cos \frac{\pi}{3}+ cos \frac{2\pi}{3}+ cos \pi + cos \frac{4\pi}{3}+ cos\frac{5\pi}{3}\)

\(\iff C=1 + \frac{1}{2}-\frac{1}{2} -1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)

\(\iff C=0\)

\((2cos x+3sin x)^2+(3cos x-2sin x)^2\)

\(=(2\cos x)^2+2\times 2 \cos x \times 3 \sin x+(3\sin x)^2+(3\cos x)^2-2 \times 3\cos x \times 2\sin x+(2\sin x)^2\)

\(=4\cos^2 x+12\cos x \times \sin x+9\sin^2 x+9\cos^2 x-12\cos x \times \sin x+4\sin^2 x\)

\(=13\cos^2 x+13\sin^2 x\)

\(=13(\cos^2 x+\sin^2 x)\)

\(=13 \times 1=13\)

car \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\)