Chapitre VII Trigonométrie

• Déterminons la mesure principale associée à la mesure \(\frac{-17\pi}{2}\):

\(\frac{\frac{-17\pi}{2}}{2\pi}\)=\(\frac{\frac{-17\pi}{2}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{-17\pi}{2} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{-17}{4}=-4,25\)

\(\frac{-17\pi}{2} +4 \times 2\pi=\frac{-17\pi}{2} +8\pi\)

\(=\frac{-17\pi}{2} +\frac{16\pi}{2}=\frac{-\pi}{2}\)

La mesure principale associée à la mesure \(\frac{-17\pi}{2}\) est donc \(\frac{-\pi}{2}\)

La somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut 180° ou \(\pi\) radians.

\(\widehat{IOA}+\widehat{IAO}+\widehat{OIA}=\pi\)

Le triangle OAI est isocèle en O car OA=OI.

En effet [OA] et [OI] sont les rayons du cercle trigonométrique.

donc \(\widehat{IAO}=\widehat{OIA}\)

\(\iff \frac{\pi}{4}+2\widehat{IAO}=\pi\)

\(\iff 2\widehat{IAO}=\pi-\frac{\pi}{4}\)

\(\iff 2\widehat{IAO}=\frac{4\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\)

\(\iff 2\widehat{IAO}=\frac{3\pi}{4}\)

\(\iff \widehat{IAO}=\frac{3\pi}{8}\)

• La longueur de l'arc \(\overset{\huge{\frown}}{IA\:}\)

  représente \(\frac{1}{8}\) du périmètre du cercle trigonométrique donc :

  \(\overset{\huge{\frown}}{IA\:}=\frac{1}{8} \times 2\pi=\frac{\pi}{4}\)

• La longueur de l'arc \(\overset{\huge{\frown}}{CD\:}\)

  représente \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) du périmètre du cercle trigonométrique donc :

  \(\overset{\huge{\frown}}{IA\:}=\frac{1}{4} \times 2\pi=\frac{\pi}{2}\)

• Le triangle OAH est isocèle en H

En effet, la somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut 180° ou \(\pi\) radians.

\(\widehat{OHA}+\widehat{HAO}+\widehat{HOA}=\pi\)

\(\begin{cases} \widehat{OHA}=\frac{\pi}{2}\\\widehat{HOA}=\frac{\pi}{4}\end{cases}\)

\(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+\widehat{HOA}=\pi\)

\(\iff \frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\widehat{HOA}=\frac{4\pi}{4}\)

\(\iff \frac{3\pi}{4}+\widehat{HOA}=\frac{4\pi}{4}\)

\(\iff \widehat{HOA}=\frac{4\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)

donc \(\widehat{HOA}=\widehat{HOA}=\frac{\pi}{4}\)

Le triangle OAH a donc deux angles de même mesure

donc HA=OH

• Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle OHA rectangle en H

  \(OA^2=OH^2+HA^2\)

  \(\iff 1^2=HA^2+HA^2\)

  \(\iff 1=2HA^2\)

  \(\iff \frac{1}{2}=HA^2\)

  \(\iff HA^2=\frac{1}{2}\)

  \(\iff HA=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

  \(\iff HA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

• Aire du triangle OAI :

\(Aire_{OAI}=\frac{base \times Hauteur}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\frac{OI \times AH}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\frac{OI \times AH}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\frac{1 \times \sqrt{2}{2}}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\frac{\sqrt{2}{2}}{\frac{1}{2}}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\sqrt{2}{2} \times \frac{1}{2}\)

\(\iff Aire_{OAI}=\sqrt{2}{4}\)

• L'aire de l'octogone est composé de 8 triangles isométriques au triangle OAI :

  \(Aire_{Octogone}=\sqrt{2}{4} \times 8=2\sqrt{2}\)

\(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\)

\(\cos^2(\frac{\pi}{12})+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \right )^2+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{\sqrt{2}^2+2\times \sqrt{2} \times \sqrt{6}+ \sqrt{6}^2}{16} \right )+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{2+2\sqrt{12}+6}{16} \right )+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{8+2\sqrt{12}}{16} \right )+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \left (\frac{8+2\sqrt{12}}{16} \right )+\sin^2(\frac{\pi}{12})=1\)

\(\iff \sin^2(\frac{\pi}{12})=1-\left (\frac{8+2\sqrt{12}}{16} \right )\)

\(\iff \sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{16}{16}-\left (\frac{8+2\sqrt{12}}{16} \right )\)

\(\iff \sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{8-2\sqrt{12}}{16}\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{12}}}{4}\) ou \(\sin(\frac{\pi}{12})=-\frac{\sqrt{8-2\sqrt{12}}}{4}\)

or \(\frac{\pi}{12}\in [0 ;\frac{\pi}{2}]\)

donc \(\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{12}}}{4}\)

On a montré que

\((\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=8+2\sqrt{12}\)

donc de manière identique, on peut penser  que \(8-2\sqrt{12}=(\sqrt{2}-\sqrt{6})^2\),

démontrons le :

\((\sqrt{2}-\sqrt{6})^2=\sqrt{2}^2-2\times \sqrt{2} \times \sqrt{6}+ \sqrt{6}^2\)

\(\iff (\sqrt{2}-\sqrt{6})^2=2-2\sqrt{12}+ 6\)

\(\iff (\sqrt{2}-\sqrt{6})^2=8-2\sqrt{12}\)

donc \(\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{6})^2}}{4}\)

donc \(\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

• \(\sin \frac{11\pi}{12}=\sin \frac{\pi}{12}==\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

  car \(\sin (\pi-x)=\sin x\)

\(cos(\frac{11\pi}{12}) =-cos(\frac{\pi}{12})=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.\)

\(\sin(\frac{5\pi}{12})=\sin(\frac{6\pi}{12}-\frac{\pi}{12})=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.\)

car \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\)

\(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)

• Pour \(k=0\)

\(x=\frac{\pi}{3}\in [-\pi ;3\pi]=[-\frac{3\pi}{3} ;\frac{9\pi}{3}] \)ou \(x=\frac{2\pi}{3} \in [-\pi ;3\pi]=[-\frac{3\pi}{3} ;\frac{9\pi}{3}]\)

• Pour \(k=1\)

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\in [-\pi ;3\pi]\)

ou

\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}\in [-\pi ;3\pi]\)

• Pour \(k=2\)

\(x=\frac{\pi}{3}+4\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}\in [-\pi ;3\pi]\)

ou

\(x=\frac{2\pi}{3}+4\pi=\frac{2\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}=\frac{14\pi}{3} \notin [-\pi ;3\pi]\)

Ces deux valeurs n'appartiennent pas à \([-\pi ;3\pi]\) et sont trop grandes.

Inutile de prendre des valeurs de \(k\) supérieures.

• Pour \(k=-1\)

\(x=\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=-\frac{5\pi}{3} \notin [-\pi ;3\pi]\)

ou

\(x=\frac{2\pi}{3}-2\pi=\frac{2\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=\frac{-4\pi}{3}\notin [-\pi ;3\pi]\)

Ces valeurs sont trop petites. Inutile de prendre des valeurs de \(k\) plus petites.

• Les solutions dans \([-\pi ;3\pi]\) sont donc

\(S=\{\frac{\pi}{3} ;\frac{\pi}{3} ;\frac{7\pi}{3} ;\frac{8\pi}{3}\}  \)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 1 :}}\) "Si \(x\in]0 ;\frac{\pi}{2}[\), alors \(\sin(x)>0\) est vraie.

  Pour les angles dont la mesure est représentée par un point de l'arc de cercle en vert, le sinus est strictement positif.

  Cet arc de cercle rouge correspond dans l'intervalle des mesures principales aux mesures \(]0 ;\frac{\pi}{2}[\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 2 :}}\) "Si \(x\) est un réel strictement négatif, alors \(\sin(x)<0\) est fausse.

Contre-exemple :

\(sin(\frac{-3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

or \(\frac{-3\pi}{4}<0\) et \(sin(\frac{-3\pi}{4})>0\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété 3 :}}\) "Si \(x\in]0 ;\frac{\pi}{2}[\) alors \(\cos x>0\) est vraie.

Pour les angles dont la mesure est représentée par un point de l'arc de cercle en vert, le cosinus est strictement positif.

Cet arc de cercle vert correspond dans l'intervalle des mesures principales aux mesures \(]0 ;\frac{\pi}{2}[\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque 1 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\) alors \(x\in]0 ;\frac{\pi}{2}[\) est fausse.

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 1 :}}\) "Si \(\sin(x)>0\) alors \(x\in]0+2k\pi ;\pi+2k\pi[\) \(k\in \mathbb{Z}\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque 2 :}}\) "Si \(\sin(x)<0 \)\(alors x\) est un réel strictement négatif est fausse.

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 2 :}}\) "Si \(\sin(x)<0 \)alors \(x\in ]-\pi+2k\pi ;0+2k\pi[\) \(k \in \mathbb{Z}\)

• la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque 3 :}}\) "Si \(\cos x>0\) alors \(x\in]0 ;\frac{\pi}{2}[\) est fausse.

la \(\color{magenta}{\text{Propriété Réciproque Correcte 3 :}}\) "Si \(\cos(x)>0 \)alors \(x\in ]-\frac{\pi}{2}+2k\pi ;\frac{\pi}{2}+2k\pi[\) \(k \in \mathbb{Z}\)

\(A=cos(0)+cos(\frac{\pi}{6})+cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{3})+cos(\frac{\pi}{2})\)

\(\iff A=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+0\)

\(\iff A=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+0\)

\(\iff A=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\)

\(B=sin(0)+sin(\frac{\pi}{6})+sin(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{3})+sin(\frac{\pi}{2})\)

\(\iff B=0+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\)

\(\iff B=\frac{3+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\)

\(\iff B=\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)

On a la relation :

\(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\)

donc

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{3\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff \sin(\frac{3\pi}{6}-\frac{2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-0)=\cos(0)\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{2})=\cos(0)\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})\)

\(\iff \sin(\frac{2\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})\)

\(\iff \sin(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})\)

\(C=sin 0 + sin \frac{\pi}{3}+ sin \frac{2\pi}{3}+ sin \pi + sin \frac{4\pi}{3}+ sin\frac{5\pi}{3}\)

\(\iff C=0 + \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\iff C=0 + \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\iff C=0\)

\((cos x+sin x)^2+(cos x-sin x)^2\)

\(=\cos^2 x+2\cos x \times \sin x+\sin^2 x+\cos^2 x-2\cos x \times \sin x+\sin^2 x\)

\(=2\cos^2 x+2\sin^2 x\)

\(=2(\cos^2 x+\sin^2 x)\)

\(=2 \times 1=2\)

car \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\)