Chapitre VII Trigonométrie

• \(\widehat{AOJ}=\)\(\frac{\pi}{2}\)-\(\frac{\pi}{6}\)\(=\)\(\frac{3\pi}{6}\)-\(\frac{\pi}{6}\)=\(\frac{2\pi}{6}\)\(\)=\(\frac{\pi}{3}\)

• La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180° soit \(\pi\) radians

  Dans le triangle IAO isocèle en O :

  \(\widehat{IAO}+\widehat{OIA}\)+\(\widehat{IOA}\)=\(\pi\)

  or \(\widehat{IAO}=\widehat{OIA}\)

  donc \(2\widehat{IAO}\)+\(\widehat{IOA}\)=\(\pi\)

  \(\iff 2\widehat{IAO}\)+\(\frac{\pi}{6}\)=\(\pi\)

  \(\iff 2\widehat{IAO}\)=\(\pi\)-\(\frac{\pi}{6}\)

  \(\iff 2\widehat{IAO}\)=\(\frac{6\pi}{6}\)-\(\frac{\pi}{6}\)

  \(\iff 2\widehat{IAO}\)=\(\frac{5\pi}{6}\)\(\)

  \(\iff \widehat{IAO}\)=\(\frac{5\pi}{12}\)

Le polygone régulier IACJDFGHLMNQ a douze côtés donc il s'agit d'un dodécagone régulier.

\(AH'=sin(x)\)

donc \(AH'=sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)

• Calcul de l'aire du triangle OAI :

\(A_{OAI}=\frac{Base \times Hauteur}{2}=\frac{OI \times AH'}{2}\)

\(\iff A_{OAI}=\frac{Base \times Hauteur}{2}=\frac{1 \times \sqrt{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{1}{2}}{\frac{2}{1}}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)

\(\iff \iff A_{OAI}=\frac{1}{4}\)

L'aire du triangle OAI  est donc \(\frac{1}{4}\)

• Calcul de l'aire du du polygone régulier IACJDFGHLMNQ. :

\(A_{ IACJDFGHLMNQ}=12 \times A_{OAI}\)

\(\iff A_{ IACJDFGHLMNQ}=12 \times \frac{1}{4}=3\)

l'aire du du polygone régulier IACJDFGHLMNQ est donc 3

• La fonction sinus est égale à \(\frac{1}{2}\) au point A.

Cette mesure correspond à la mesure principale \(\frac{\pi}{3}\)

donc le point A a pour coordonnées : \(A(\frac{\pi}{3}+2\pi ;\frac{1}{2})\)

soit \(A(\frac{\pi}{3}+\frac{6\pi}{3} ;\frac{1}{2})\)

\(\iff A(\frac{7\pi}{3} ;\frac{1}{2})\)

• La fonction sinus est égale à \(0\) au point B.

  Cette mesure correspond à la mesure principale \(0\)

  donc le point B a pour coordonnées : \(B(0+2\pi ;0)\)

  soit \(B(2\pi ;0)\)

La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère car la fonction sinus est \(\color{red}{impaire : f(-x)=-f(x)}\)

Le point symétrique du point A par rapport à l'origine du repère appartient donc à la courbe de la fonction sinus.

La courbe de la fonction sinus n'est pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées car la fonction sinus \(\color{red}{\text{ n'est pas paire : } f(-x) \ne f(x)}\)

Le point symétrique du point A par rapport à l'axe des ordonnées n'appartient donc pas à la courbe de la fonction sinus.

La période de la fonction sinus est \(2\pi\).

La fonction sinus est \(2\pi\)-périodique.

Le triangle OAM est rectangle en A, d'hypoténuse [OM],

d'après le théorème de Pythagore :

\(OM^2=OA^2+AM^2\)

\(\iff 1^2=(cos(\theta))^2+(sin(\theta))^2\)

car le cercle représenté ci-dessus est le cercle trigonométrique de rayon 1.

\(\iff cos^2(\theta)+sin^2(\theta)=1\)

• \(\cos(-x)=cos(x)\)

donc \(\cos(-\frac{\pi}{8})=\cos(\frac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

\(\cos(\frac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

\(\Rightarrow (\cos(\frac{\pi}{8}))^2=(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})^2\)

\(\iff (\cos(\frac{\pi}{8}))^2=\dfrac{(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2}{2^2}\)

\(\iff (\cos(\frac{\pi}{8}))^2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)

\(\cos^2(\frac{\pi}{8})+sin^2(\frac{\pi}{8})=1\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=1-\cos^2(\frac{\pi}{8})\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{4}{4}-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{4-(2+\sqrt{2})}{4}\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{4-2-\sqrt{2}}{4}\)

\(\iff sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)

\(\iff sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\) ou \(\sin(\frac{\pi}{8})=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

or \(\frac{\pi}{8} \in [-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]\) donc \(sin(\frac{\pi}{8})>0\)

Finalement \(\color{magenta}{sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)

• \(\sin(-x)=-sin(x)\)

donc \(\color{magenta}{sin(-\frac{\pi}{8})=-sin(\frac{\pi}{8})=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)

\(f(\frac{\pi}{4})=sin(2 \times \frac{\pi}{4})+cos⁡(\frac{\pi}{4})sin⁡(\frac{\pi}{4})\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=sin( \frac{2\pi}{4})+cos⁡(\frac{\pi}{4})sin⁡(\frac{\pi}{4})\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=sin( \frac{\pi}{2})+cos⁡(\frac{\pi}{4})sin⁡(\frac{\pi}{4})\)

\(sin( \frac{\pi}{2})=1\)

\(\begin{cases}cos⁡(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\\sin⁡(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\)

donc

\(f(\frac{\pi}{4})=1+\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=1+\frac{\sqrt{2}^2}{2^2}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=1+\frac{2}{4}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=1+\frac{1}{2}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{4})=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}\)

\(\iff \color{magenta}{f(\frac{\pi}{4})=\frac{3}{2}}\)

\(f(\frac{\pi}{6})=sin(2 \times \frac{\pi}{6})+cos⁡(\frac{\pi}{6})sin⁡(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff f(\frac{\pi}{6})=sin( \frac{2\pi}{6})+cos⁡(\frac{\pi}{6})sin⁡(\frac{\pi}{6})\)

\(\iff f(\frac{\pi}{6})=sin( \frac{\pi}{3})+cos⁡(\frac{\pi}{6})sin⁡(\frac{\pi}{6})\)

\(sin( \frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\begin{cases}cos⁡(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin⁡(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\end{cases}\)

donc

\(f(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{4}\)

\(\iff f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{4}+ \frac{\sqrt{3}}{4}\)

\(\iff \color{magenta}{f(\frac{\pi}{6})=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\)

\(f(x+\pi)=sin(2(x+\pi))+cos⁡(x+\pi)sin⁡(x+\pi)\)

\(\iff f(x+\pi)=sin(2x+2\pi)+cos⁡(x+\pi)sin⁡(x+\pi)\)

\(f(x+\pi)=sin(2x+2\pi)+cos⁡(x+\pi)sin⁡(x+\pi)\)

la fonction sinus est \(2\pi\)-périodique donc \(sin(2x+2\pi)=sin(2x)\)

\(\begin{cases}cos⁡(x+\pi)=-cos⁡(x)\sin⁡(x+\pi)=-sin(x)\end{cases}\)

\(\Rightarrow f(x+\pi)=sin(2x)+(-cos⁡(x))(-sin⁡(x))\)

\(\iff f(x+\pi)=sin(2x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=f(x)\)

La fonction \(f\) est donc \(\pi\) périodique.

• \(f(\frac{13\pi}{6})=f(\frac{\pi}{6}+\frac{12\pi}{6})=f(\frac{\pi}{6}+2\pi)=f(\frac{\pi}{6}+\pi+\pi)=f(\frac{\pi}{6}+\pi)=f(\frac{\pi}{6})\)

  car la fonction \(f\) est \(\pi\) périodique.

  Finalement \(f(\frac{13\pi}{6})=f(\frac{\pi}{6})=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

• \(f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{-5\pi}{6}+\pi)=f(\frac{-5\pi}{6})\)

  car la fonction \(f\) est \(\pi\) périodique.

  Finalement \(f(\frac{-5\pi}{6})=f(\frac{\pi}{6})=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(f(-x)=sin(2(-x))+cos⁡(-x)sin⁡(-x)\)

• \(sin(2(-x))=-sin(2x)\)

\(\begin{cases}cos⁡(-x)=cos⁡(x)\\sin⁡(-x)=-sin(x)\end{cases}\)

\(f(-x)=-sin(2x)-cos⁡(x)sin⁡(x)\)

donc \(f(-x)=-f(x)\)

donc la fonction \(f\) est \(\color{magenta}{impaire.}\)